Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Gaya konstan F = (−25, 10, 10) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(−4, 1, 0) ke titik B(5, −4, −4). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.

F = (−25, 10, 10) NA(−4, 1, 0) mB(5, −4, −4) m

W = J

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (−4, 2, 3), b = (0, 3, −2), dan c = (3, 4, 4).

a = (−4, 2, 3)b = (0, 3, −2)c = (3, 4, 4)

V =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

AB = 4 mAC = 5 mP₁ = 10 kN di 3 mP₂ = 55 kN di 5 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 9 m dari A, miring 30° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 2 m dari A. Cari sudut α antara gaya reaksi total di sendi A dan horizontal.

L = 10 mP = 55 kN di 9 m, θ = 30°Q = 10 kN di 2 m

α = °

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 55 kN

F_AB = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 55 kNbeban horizontal = 15 kN →

F_AC = kN

7.Rangka & mesinSedang

Engkol siku yang ditunjukkan berputar terhadap pin O. Gaya vertikal 80 N di A (240 mm dari O) diseimbangkan oleh gaya horizontal di B (80 mm di atas O). Cari besar reaksi pin F_O.

F = 80 NOA = 240 mmOB = 80 mm

F_O = N

8.Rangka & mesinSulit

Balok AB pada braket dinding yang ditunjukkan dipasang dengan pin di A dan ditopang oleh batang penyangga CD (C berada 1,2 m di bawah A). Balok memikul beban merata 2 kN/m sepanjang seluruh panjangnya dan beban titik 15 kN pada ujung bebasnya B. Cari gaya F_CD pada batang penyangga.

w = 2 kN/mP = 15 kNAD = 2 mAB = 3 mAC = 1,2 m

F_CD = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1 m dari A. Cari momen lentur M_A di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2,5 mP = 15 kN di 1 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 2,5 m

M_A = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak x_c dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 8,5 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 8,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m

x_c = m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 150 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 96 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 50 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_bawah = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: W = −315 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Perpindahan

d = B − A = (5, −4, −4) − (−4, 1, 0) = (9, −5, −4) m

Usaha

W = F·d = (−25)·9 + 10·(−5) + 10·(−4) = −315 J

Jawaban

W = −315 J

Usaha negatif: gaya sebagian besar bekerja melawan gerakan.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: V = 119

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·4 − (−2)·4 = 20

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·3 − 0·4 = −6

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·4 − 3·3 = −9

Hasil kali titik dengan a

a·(b × c) = (−4)·20 + 2·(−6) + 3·(−9) = −119

V = |−119| = 119

Jawaban

V = 119

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = −11,25 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3 + 55·5

R_B = 305/4 = 76,25 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 10 + 55 − 76,25 = −11,25 kN

Jawaban

R_A = −11,25 kN

R_A negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: α = 12,72 °

Komponen P

P_v = 55·sin 30° = 27,5 kN

P_h = 55·cos 30° = 47,63 kN

Reaksi

ΣM_A = 0: R_B·10 = 27,5·9 + 10·2 → R_B = 26,75 kN

A_y = 27,5 + 10 − 26,75 = 10,75 kN

A_x = P_h = 47,63 kN

Arah di A

α = atan(A_y/A_x) = atan(10,75/47,63) = 12,72°

Jawaban

α = 12,72°

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −24,79 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 → C_y = 41,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 41,25 = 13,75 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13,75/0,5547 = −24,79 kN

Jawaban

F_AB = −24,79 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 34,44 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·2 + 15·3 → C_y = 25,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 25,83 = 29,17 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −25,83/0,6 = −43,06 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−43,06)·0,8 = 34,44 kN

Jawaban

F_AC = 34,44 kN (tarik)

7.Rangka & mesin

Jawaban: F_O = 253 N

Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).

Gaya di B

Q = 80·240/80 = 240 N

Reaksi pin

O_x = 240 N, O_y = 80 N

F_O = √(240² + 80²) = 253 N

Jawaban

F_O = 253 N

8.Rangka & mesin

Jawaban: F_CD = 52,48 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Resultan beban merata

w·L = 2·3 = 6 kN di 1,5 m

Momen terhadap A untuk balok

F_CD·0,5145·2 = 6·1,5 + 15·3 = 54 kN·m

F_CD = 52,48 kN

Jawaban

F_CD = 52,48 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_A = −33,75 kN·m

Ambil bagian ujung bebas

P: −15·1 = −15 kN·m

w: −6·2,5²/2 = −18,75 kN·m

M_A = −15 − 18,75 = −33,75 kN·m

Jawaban

M_A = −33,75 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x_c = 4,958 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·8,5 = 34 kN, bekerja di x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·8,5·4,25

R_B = 144,5/6 = 24,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 24,08 = 9,917 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = R_A·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·9,917/4 = 4,958 m

Jawaban

x_c = 4,958 m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·120 − 1257·96)/(36000 − 1257) = 120,9 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·240³/12 + 36000·−0,8681² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−24,87² = 0,9028 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 171,9 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 243,5 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

badan: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·235 + 2640·110)/9840 = 201,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 240·30³/12 + 7200·(235 − 201,5)² = 8,638 × 10⁶ mm⁴

badan: 12·220³/12 + 2640·(110 − 201,5)² = 3,273 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,638 × 10⁶ + 3,273 × 10⁷ = 4,137 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 201,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·201,5/4,137 × 10⁷ = 243,5 MPa

Jawaban

σ_bawah = 243,5 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics