Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Gaya konstan F = (10, −20, −30) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(4, 3, −2) ke titik B(4, −3, 4). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.
F = (10, −20, −30) NA(4, 3, −2) mB(4, −3, 4) m
W = J
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Tentukan luas A jajar genjang yang direntang oleh a = (3, −4, 4) dan b = (−6, 6, −4).
a = (3, −4, 4)b = (−6, 6, −4)
A =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 6 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.
AB = 6 mAC = 10 mP1 = 80 kN di 5 mP2 = 45 kN di 10 m
RA = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.
L = 10 mP = 60 kN di 9 mw = 4 kN/m dari 2 sampai 7 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
H: 25 kN ↓H: 10 kN ←
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG
7.Rangka & mesinSedang
Rangka yang ditunjukkan memiliki pin di A, B, dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 8 m, dan B berada 2 m di atas tanah dan 2,4 m di kanan A. Beban vertikal 15 kN bekerja pada batang AB di K, 1,8 m (secara horizontal) dari A. Cari gaya FBC pada batang BC.
P = 15 kNL = 8 mH = 2 mjarak horizontal A ke B = 2,4 mjarak horizontal A ke K = 1,8 m
FBC = kN
8.Rangka & mesinSulit
Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 3 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari ujungnya B ke titik C pada dinding, 1 m di atas A. Beban 4 kN tergantung di B. Cari tarikan T pada kabel.
W = 4 kNWb = 3 kNAB = 5 mAC = 1 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 2 m
Mx = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.
L = 10 mP = 55 kN di 6 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 10 m
Mmax = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Sebuah pelat 120 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 45 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 120 mmh = 150 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 20 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.
Perkalian titik:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.
Perpindahan
d = B − A = (4, −3, 4) − (4, 3, −2) = (0, −6, 6) m
Usaha
W = F·d = 10·0 + (−20)·(−6) + (−30)·6 = −60 J
Jawaban
W = −60 J
Usaha negatif: gaya sebagian besar bekerja melawan gerakan.
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: A = 15,62
Perkalian silang:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah MO = r × F, dengan r = A − O.
Hasil kali silang
(a × b)x = aybz − azby = (−4)·(−4) − 4·6 = −8
(a × b)y = azbx − axbz = 4·(−6) − 3·(−4) = −12
(a × b)z = axby − aybx = 3·6 − (−4)·(−6) = −6
Luas
A = |a × b| = √((−8)² + (−12)² + (−6)²) = 15,62
Jawaban
A = 15,62
3.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = −16,67 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Momen terhadap A
Berlawanan arah jarum jam positif.
ΣMA = 0: RB·6 = 80·5 + 45·10
RB = 850/6 = 141,7 kN
Kesetimbangan vertikal
RA = 80 + 45 − 141,7 = −16,67 kN
Jawaban
RA = −16,67 kN
RA negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = 17 kN
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, bekerja di x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·9 + 4·5·4,5
RB = 630/10 = 63 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 63 = 17 kN
Jawaban
RA = 17 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: elemen BF
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul B
AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Batang dua gaya BC
BC = √(5,6² + 2²) = 5,946 m
Seluruh rangka: momen terhadap A
Tanah mendorong BC di C sepanjang CB; komponen horizontalnya melalui A, hanya yang vertikal yang memiliki momen.
FBC·(2/5,946)·8 = 15·1,8
FBC = 10,03 kN (tekan)
Jawaban
FBC = 10,03 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: T = 28,04 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Sudut kabel
BC = √(5² + 1²) = 5,099 m, sin β = 0,1961
Momen terhadap A
T·0,1961·5 = 4·5 + 3·2,5
T = 28,04 kN
Jawaban
T = 28,04 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 15 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·5·2,5
RB = 62,5/5 = 12,5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 12,5 = 12,5 kN
Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 12,5·2 − 5·2·1 = 15 kN·m
Jawaban
Mx = 15 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mmax = 168 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·6 + 3·10·5
RB = 480/10 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 48 = 37 kN
Di mana V = 0?
V(6⁻) = RA − w·6 = 19 kN
V(6⁺) = 19 − 55 = −36 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.
Momen maksimum
Mmax = RA·6 − w·6²/2 = 37·6 − 3·6²/2 = 168 kN·m
Jawaban
Mmax = 168 kN·m
Terjadi di x = 6 m dari A.
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 30,09 × 10⁶ mm⁴
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (18000·75 − 2827·45)/(18000 − 2827) = 80,59 mm
Pelat penuh terhadap ȳ
120·150³/12 + 18000·−5,591² = 34,31 × 10⁶ mm⁴
Lubang terhadap ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−35,59² = 4,218 × 10⁶ mm⁴
Kurangkan
Ix = 30,09 × 10⁶ mm⁴
Jawaban
Ix = 30,09 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia
Jawaban: σbawah = 62,61 MPa
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 280 + 15/2 = 287,5 mm
badan: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm