Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|

Metode

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
  3. Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban

Metode

  1. Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
  2. Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
  3. Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
  4. Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
xyzab

Tentukan sudut θ antara vektor a = (−5, −5, −1) dan b = (1, −5, 5), dalam derajat.

a = (−5, −5, −1)b = (1, −5, 5)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
xyzab

Untuk a = (4, −2, 1) dan b = (3, −5, −4), tentukan komponen x (a × b)x dari hasil kali silang a × b.

a = (4, −2, 1)b = (3, −5, −4)
(a × b)x =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
w = 4 kN/mP = 70 kNABMA​ = ?4,5 m1,5 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada 4,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 6 mP = 70 kN di 4,5 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 6 m
MA = kN·m
4.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​ = ?RB​1,5 m0,5 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 4 mP = 20 kN di 1,5 mw = 10 kN/m dari 2 sampai 4 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB25 kN8 m5 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 3 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 25 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABCDEFGH20 kN20 kN40 kN35 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 20 kN ↓D: 20 kN ↓F: 40 kN →G: 35 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
7.Rangka & mesinSedang
10 kN4 m3 m0,6 mABCK

Rangka yang ditunjukkan memiliki pin di A, B, dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 4 m, dan B berada 3 m di atas tanah dan 0,6 m di kanan A. Beban vertikal 10 kN bekerja pada batang AB di K, 0,36 m (secara horizontal) dari A. Cari gaya FBC pada batang BC.

P = 10 kNL = 4 mH = 3 mjarak horizontal A ke B = 0,6 mjarak horizontal A ke K = 0,36 m
FBC = kN
8.Rangka & mesinSulit
8 kN6 m1,2 m3,3 mABCDE

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 6 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4,5 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 1,2 m. Gaya horizontal 8 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.

P = 8 kNAB = 6 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 1,2 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
10 kN/m10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

10 kN @ 3 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mP = 10 kNAB8 m2 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 10 mP = 10 kN di 8 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 10 m
Mmax = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
220150t = 10ȳ = ?dimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 220 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 150 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 10 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 220 mmh = 150 mmt = 10 mm
ȳ = mm
12.Titik berat & momen inersiaSulit
1201026020xM = 5 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 5 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 260 mmM = 5 kN·m
σatas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 72,9 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = (−5)·1 + (−5)·(−5) + (−1)·5 = 15

Besar vektor

|a| = √((−5)² + (−5)² + (−1)²) = 7,141
|b| = √(1² + (−5)² + 5²) = 7,141

Sudut

cos θ = 15/(7,141·7,141) = 0,2941
θ = arccos(0,2941) = 72,9°

Jawaban

θ = 72,9°
2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)x = 13

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)x = aybz − azby = (−2)·(−4) − 1·(−5) = 13
(a × b)y = azbx − axbz = 1·3 − 4·(−4) = 19
(a × b)z = axby − aybx = 4·(−5) − (−2)·3 = −14

Komponen yang diminta

(a × b)x = 13

Jawaban

(a × b)x = 13

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 387 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m

Momen terhadap dinding

MA = P·a + W·x̄ = 70·4,5 + 24·3 = 387 kN·m

Jawaban

MA = 387 kN·m
4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 17,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1,5 m0,5 m2 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·1,5 + 10·2·3
RB = 90/4 = 22,5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 22,5 = 17,5 kN

Jawaban

RA = 17,5 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 15,63 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·5 → Cy = 15,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 15,63 = 9,375 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15,63/0,7071 = −22,1 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−22,1)·0,7071 = 15,63 kN

Jawaban

FAC = 15,63 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 58,13 kN (T), BC: 61,25 kN (T), CD: 61,25 kN (T), DE: 38,13 kN (T), FG: 58,13 kN (C), GH: 38,13 kN (C), AF: 30,21 kN (C), HE: 63,54 kN (C), BF: 24,17 kN (T), CG: 0, DH: 50,83 kN (T), BG: 5,208 kN (C), DG: 38,54 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
7.Rangka & mesin

Jawaban: FBC = 1,36 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Batang dua gaya BC

BC = √(3,4² + 3²) = 4,534 m

Seluruh rangka: momen terhadap A

Tanah mendorong BC di C sepanjang CB; komponen horizontalnya melalui A, hanya yang vertikal yang memiliki momen.

FBC·(3/4,534)·4 = 10·0,36
FBC = 1,36 kN (tekan)

Jawaban

FBC = 1,36 kN
8.Rangka & mesin

Jawaban: T = 5,455 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Seluruh rangka: momen terhadap A

By·6 = 8·4,5
By = 6 kN

Kaki BC: momen terhadap C

6·3 = T·3,3
T = 5,455 kN

Jawaban

T = 5,455 kN

T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 35 kN, R2 = 35 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 30, MC = 50, MD = 60 kN·m, ME = 50, MF = 30, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 60 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 36 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·8 + 2·10·5
RB = 180/10 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 18 = 12 kN

Di mana V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 12/2 = 6 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 12·6 − 2·6²/2 = 36 kN·m

Jawaban

Mmax = 36 kN·m

Terjadi di x = 6 m dari A.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 47 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 220·10 = 2200 mm², y1 = 5 mm
dua kaki: A2 = 2·10·140 = 2800 mm², y2 = 10 + 140/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (2200·5 + 2800·80)/5000 = 47 mm

Jawaban

ȳ = 47 mm
12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 12,18 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
badan: Aw = 20·260 = 5200 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·265 + 5200·130)/6400 = 155,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·10³/12 + 1200·(265 − 155,3)² = 1,445 × 10⁷ mm⁴
badan: 20·260³/12 + 5200·(130 − 155,3)² = 3,263 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,445 × 10⁷ + 3,263 × 10⁷ = 4,707 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 270 − 155,3 = 114,7 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·114,7/4,707 × 10⁷ = 12,18 MPa

Jawaban

σatas = 12,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics