Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan nilai k agar vektor a = (1, 2, 1) dan b = (6, k, −2) saling tegak lurus.
a = (1, 2, 1)b = (6, k, −2)
k =
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (4, −4, 3) dan b = (−4, −1, 0) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen y n̂y.
a = (4, −4, 3)b = (−4, −1, 0)n̂z > 0
n̂y =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 3 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.
AB = 3 mAC = 5 mP1 = 20 kN di 2 mP2 = 45 kN di 5 m
RA = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 3,5 m dari A, miring 60° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 0,5 m dari A. Cari sudut α antara gaya reaksi total di sendi A dan horizontal.
L = 4 mP = 20 kN di 3,5 m, θ = 60°Q = 50 kN di 0,5 m
α = °
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
B: 25 kN ↓F: 25 kN ↓H: 15 kN ↓
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 4 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4,5 m dan tali pengikat horizontal DE 1,8 m di atas tanah. Beban vertikal 20 kN bekerja pada kaki AC di K, 0,5 m (secara horizontal) dari A. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 20 kNAB = 4 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 1,8 mjarak horizontal A ke K = 0,5 m
T = kN
8.Rangka & mesinSulit
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 3,2 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 3 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 0,8 m. Gaya horizontal 2 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 2 kNAB = 3,2 mtinggi C = 3 mtinggi DE = 0,8 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Cari gaya geser Vx pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 1 m
Vx = kN
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 4 mP = 10 kN di 3 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.
bf = 140 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 15 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil kali titik sama dengan nol
a·b = 1·6 + 2·k + 1·(−2) = 0
4 + 2·k = 0
Selesaikan untuk k
k = −4/2 = −2
Jawaban
k = −2
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: n̂y = 0,5103
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil kali silang
(a × b)x = aybz − azby = (−4)·0 − 3·(−1) = 3
(a × b)y = azbx − axbz = 3·(−4) − 4·0 = −12
(a × b)z = axby − aybx = 4·(−1) − (−4)·(−4) = −20
Normalkan
Komponen z dari a × b negatif, jadi gunakan −(a × b).
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Momen terhadap A
Berlawanan arah jarum jam positif.
ΣMA = 0: RB·3 = 20·2 + 45·5
RB = 265/3 = 88,33 kN
Kesetimbangan vertikal
RA = 20 + 45 − 88,33 = −23,33 kN
Jawaban
RA = −23,33 kN
RA negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: α = 77,71 °
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·4 = 50·1 − 5·4 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 7,5 = 42,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
Titik buhul C
Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By = 20·0,5/4 = 2,5 kN
Kaki BC: momen terhadap C
2,5·2 = T·2,7
T = 1,852 kN
Jawaban
T = 1,852 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: T = 1,364 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By·3,2 = 2·3
By = 1,875 kN
Kaki BC: momen terhadap C
1,875·1,6 = T·2,2
T = 1,364 kN
Jawaban
T = 1,364 kN
T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Vx = 15 kN
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·5·2,5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 25 − 10·1 = 15 kN
Jawaban
Vx = 15 kN
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 17 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·3 + 6·4·2
RB = 78/4 = 19,5 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 19,5 = 14,5 kN
Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 14,5·2 − 6·2·1 = 17 kN·m
Jawaban
Mx = 17 kN·m
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 40,72 × 10⁶ mm⁴
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 140·25 = 3500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232,5 mm
badan: Aw = 16·220 = 3520 mm², yw = 220/2 = 110 mm
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm