Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan hasil kali titik a·b dari a = (5, −7, −5) dan b = (7, −5, 1).

a = (5, −7, −5)b = (7, −5, 1)

a·b =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Sebuah gaya F = (50, −40, 10) N bekerja di titik A(2, −3, −2). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen y M_y dari momen gaya terhadap titik asal O(0, 0, 0).

F = (50, −40, 10) NA(2, −3, −2) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 7 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal R_B, dengan arah ke atas positif.

AB = 7 mAC = 10 mP₁ = 35 kN di 1 mP₂ = 10 kN di 10 m

R_B = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 4 mP = 60 kN di 1 mw = 8 kN/m dari 1 sampai 4 m

R_B = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 35 kN

F_AB = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 3 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 60 kNbeban horizontal = 20 kN ←

F_BC = kN

7.Rangka & mesinSedang

Rangka yang ditunjukkan memiliki pin di A, B, dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 8 m, dan B berada 3 m di atas tanah dan 4,8 m di kanan A. Beban vertikal 20 kN bekerja pada batang AB di K, 2,88 m (secara horizontal) dari A. Cari gaya F_BC pada batang BC.

P = 20 kNL = 8 mH = 3 mjarak horizontal A ke B = 4,8 mjarak horizontal A ke K = 2,88 m

F_BC = kN

8.Rangka & mesinSulit

Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 1,5 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari ujungnya B ke titik C pada dinding, 1 m di atas A. Beban 2 kN tergantung di B. Cari tarikan T pada kabel.

W = 2 kNW_b = 1,5 kNAB = 5 mAC = 1 m

T = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 6 m25 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak x_c dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 6,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 6,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m

x_c = m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 200 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 84 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 240 mmpotongan: 50 × 40 mmpusat lubang: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: a·b = 65

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan

a·b = 5·7 + (−7)·(−5) + (−5)·1 = 35 + 35 + (−5) = 65

Jawaban

a·b = 65

Positif: sudut di antara kedua vektor kurang dari 90°.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: M_y = −120 N·m

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor posisi dari O ke A

r = A − O = (2, −3, −2) − (0, 0, 0) = (2, −3, −2) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·10 − (−2)·(−40) = −110 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·50 − 2·10 = −120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·(−40) − (−3)·50 = 70 N·m

Komponen yang diminta

M_y = −120 N·m

Jawaban

M_y = −120 N·m

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 19,29 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 35·1 + 10·10

R_B = 135/7 = 19,29 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 35 + 10 − 19,29 = 25,71 kN

Jawaban

R_B = 19,29 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 30 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1 + 8·3·2,5

R_B = 120/4 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 30 = 54 kN

Jawaban

R_B = 30 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −28,04 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·2 → C_y = 11,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 11,67 = 23,33 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −23,33/0,8321 = −28,04 kN

Jawaban

F_AB = −28,04 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −16,97 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·2 − 20·3 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 12 = 48 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12/0,7071 = −16,97 kN

Jawaban

F_BC = −16,97 kN (tekan)

7.Rangka & mesin

Jawaban: F_BC = 10,53 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Batang dua gaya BC

BC = √(3,2² + 3²) = 4,386 m

Seluruh rangka: momen terhadap A

Tanah mendorong BC di C sepanjang CB; komponen horizontalnya melalui A, hanya yang vertikal yang memiliki momen.

F_BC·(3/4,386)·8 = 20·2,88

F_BC = 10,53 kN (tekan)

Jawaban

F_BC = 10,53 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: T = 14,02 kN

Sudut kabel

BC = √(5² + 1²) = 5,099 m, sin β = 0,1961

Momen terhadap A

T·0,1961·5 = 2·5 + 1,5·2,5

T = 14,02 kN

Jawaban

T = 14,02 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 26,67 kN, R₂ = 43,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 53,33, M_C = 106,7, M_D = 160 kN·m, M_E = 123,3, M_F = 86,67, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 160 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x_c = 4,55 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·6,5 = 32,5 kN, bekerja di x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·6,5·3,25

R_B = 105,6/5 = 21,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32,5 − 21,13 = 11,38 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = R_A·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·11,38/5 = 4,55 m

Jawaban

x_c = 4,55 m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (60000·150 − 2827·90)/(60000 − 2827) = 153 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·300³/12 + 60000·−2,967² = 450,5 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−62,97² = 11,85 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

Titik berat

ȳ = (28800·120 − 2000·84)/(28800 − 2000) = 122,7 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·240³/12 + 28800·−2,687² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·40³/12 + 2000·−38,69² = 3,26 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics