Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Gaya konstan F = (−20, 0, −30) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(−4, 2, −2) ke titik B(3, 1, −2). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.
F = (−20, 0, −30) NA(−4, 2, −2) mB(3, 1, −2) m
W = J
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (−4, −5, 5), b = (3, −4, 3), dan c = (4, −3, −3).
a = (−4, −5, 5)b = (3, −4, 3)c = (4, −3, −3)
V =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
L = 4 mP1 = 10 kN di 2 mP2 = 30 kN di 2,5 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 3 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 1,5 m dari A dan beban merata w dari 2 m sampai ujung bebas di 4 m. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.
AB = 3 mAC = 4 mP = 60 kN di 1,5 mw = 3 kN/m dari 2 sampai 4 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
B: 40 kN ↓F: 30 kN ↓G: 15 kN ↓
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3,6 m dan tali pengikat horizontal DE 1,2 m di atas tanah. Beban vertikal 10 kN bekerja pada kaki AC di K, 0,5 m (secara horizontal) dari A. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 10 kNAB = 2 mtinggi C = 3,6 mtinggi DE = 1,2 mjarak horizontal A ke K = 0,5 m
T = kN
8.Rangka & mesinSulit
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 6 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 2 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 0,8 m. Gaya horizontal 15 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 15 kNAB = 6 mtinggi C = 2 mtinggi DE = 0,8 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 45 kN·m di x = 2 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 8 mM0 = 45 kN·m searah jarum jam, di 2 m
Mx = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur MB di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 10,5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 10,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m
MB = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Profil I simetris memiliki sayap selebar 140 mm dan setebal 10 mm, tinggi total 420 mm, dan badan setebal 6 mm. Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu titik berat horizontal x.
B = 140 mmH = 420 mmtf = 10 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Profil I simetris memiliki sayap selebar 170 mm dan setebal 18 mm, tinggi total 300 mm, dan badan setebal 14 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 50 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σj di pertemuan badan dan sayap atas.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Perpindahan
d = B − A = (3, 1, −2) − (−4, 2, −2) = (7, −1, 0) m
Usaha
W = F·d = (−20)·7 + 0·(−1) + (−30)·0 = −140 J
Jawaban
W = −140 J
Usaha negatif: gaya sebagian besar bekerja melawan gerakan.
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: V = 154
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil kali silang b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−4)·(−3) − 3·(−3) = 21
(b × c)y = bzcx − bxcz = 3·4 − 3·(−3) = 21
(b × c)z = bxcy − bycx = 3·(−3) − (−4)·4 = 7
Hasil kali titik dengan a
a·(b × c) = (−4)·21 + (−5)·21 + 5·7 = −154
V = |−154| = 154
Jawaban
V = 154
3.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RB = 23,75 kN
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·4 = 10·2 + 30·2,5
RB = 95/4 = 23,75 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 23,75 = 16,25 kN
Jawaban
RB = 23,75 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = 30 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Resultan beban merata
W = 3·2 = 6 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·3 = 60·1,5 + 6·3
RB = 108/3 = 36 kN
RA = 66 − 36 = 30 kN
Jawaban
RA = 30 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: elemen DH
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul D
CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·8 = 45·6 + 5·2 → Cy = 35 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 35 = 10 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Titik buhul A
Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.
sin α = 2/6,325 = 0,3162
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0,3162 = −31,62 kN
Jawaban
FAB = −31,62 kN (tekan)
7.Rangka & mesin
Jawaban: T = 1,042 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By = 10·0,5/2 = 2,5 kN
Kaki BC: momen terhadap C
2,5·1 = T·2,4
T = 1,042 kN
Jawaban
T = 1,042 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: T = 12,5 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By·6 = 15·2
By = 5 kN
Kaki BC: momen terhadap C
5·3 = T·1,2
T = 12,5 kN
Jawaban
T = 12,5 kN
T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 33,75 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.
Reaksi tumpuan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 45/8 = 5,625 kN (ke atas)
RA = −RB = −5,625 kN (ke bawah)
Potong tepat di kanan kopel
Bagian kiri sekarang memuat RA dan kopel.
Mx = RA·a + M0 = −5,625·2 + 45 = 33,75 kN·m
Jawaban
Mx = 33,75 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: MB = −37,5 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·10,5 = 126 kN, bekerja di x̄ = 5,25 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·10,5·5,25
RB = 661,5/8 = 82,69 kN
ΣFy = 0: RA = 126 − 82,69 = 43,31 kN
Potong di B dan ambil bagian overstek
Beban pada overstek, w·a, bekerja di a/2 dari B dan menimbulkan momen negatif di atas tumpuan.
MB = −w·a²/2 = −12·2,5²/2 = −37,5 kN·m
Jawaban
MB = −37,5 kN·m
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 149,7 × 10⁶ mm⁴
Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.
Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping
Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping
Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.