Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan sudut θ antara vektor a = (3, 2, −1) dan b = (2, −4, −1), dalam derajat.
a = (3, 2, −1)b = (2, −4, −1)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (−1, 4, −2), b = (−4, 2, 1), dan c = (5, 3, −1).
a = (−1, 4, −2)b = (−4, 2, 1)c = (5, 3, −1)
V =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, naik dari nol di A sampai 4 kN/m di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 4 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
L = 10 mw0 = 4 kN/mP = 10 kN di 4 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (4 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (10 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 5 m dari A, beban merata w di seluruh bagian CD dan beban terpusat Q pada 2 m dari A. Cari reaksi RD di rol.
AC = 4 mAD = 10 mP = 80 kN di 5 mw = 2 kN/m dari 4 sampai 10 mQ = 65 kN di 2 m
RD = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
Pada penjepit toggle yang ditunjukkan, dua batang penghubung AB dan BC yang sama panjang dipasang dengan pin di B, dan masing-masing membentuk sudut 20° dengan garis AC. Gaya ke bawah 250 N dikenakan di B. Penggeser C menekan benda kerja. Dengan mengabaikan gesekan dan berat, cari gaya penjepitan horizontal Q.
F = 250 Nθ = 20°
Q = N
8.Rangka & mesinSulit
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2,4 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3 m dan tali pengikat horizontal DE 0,8 m di atas tanah. Beban vertikal 4 kN bekerja pada kaki AC di K, 0,6 m (secara horizontal) dari A. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.
P = 4 kNAB = 2,4 mtinggi C = 3 mtinggi DE = 0,8 mjarak horizontal A ke K = 0,6 m
C = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.
L = 10 mP1 = 15 kN di 2 mP2 = 65 kN di 5 m
Mmax = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur positif maksimum Mmax di antara tumpuan.
L = 10 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 10 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m
Mmax = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.
bf = 300 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 5 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.
Perkalian titik:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.
Hasil kali titik
a·b = 3·2 + 2·(−4) + (−1)·(−1) = −1
Besar vektor
|a| = √(3² + 2² + (−1)²) = 3,742
|b| = √(2² + (−4)² + (−1)²) = 4,583
Sudut
cos θ = −1/(3,742·4,583) = −0,05832
θ = arccos(−0,05832) = 93,34°
Jawaban
θ = 93,34°
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: V = 53
Perkalian silang:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah MO = r × F, dengan r = A − O.
Hasil kali silang b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 2·(−1) − 1·3 = −5
(b × c)y = bzcx − bxcz = 1·5 − (−4)·(−1) = 1
(b × c)z = bxcy − bycx = (−4)·3 − 2·5 = −22
Hasil kali titik dengan a
a·(b × c) = (−1)·(−5) + 4·1 + (−2)·(−22) = 53
V = |53| = 53
Jawaban
V = 53
3.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RB = 17,33 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Resultan beban segitiga
W = ½·4·10 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·10 = 20·6,667 + 10·4
RB = 17,33 kN
RA = 30 − 17,33 = 12,67 kN
Jawaban
RB = 17,33 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RD = 19,33 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.
Bagian CD
Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.
W = 2·6 = 12 kN di 3 m dari C
ΣMC = 0: RD·6 = 80·1 + 12·3
RD = 19,33 kN
VC = 92 − 19,33 = 72,67 kN
Jawaban
RD = 19,33 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: elemen DH
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul D
CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·6 = 50·1 + 5·4 → Cy = 11,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 11,67 = 38,33 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Titik buhul A
Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.
sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −38,33/0,9701 = −39,51 kN
Jawaban
FAB = −39,51 kN (tekan)
7.Rangka & mesin
Jawaban: Q = 343,4 N
Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).
Keseimbangan pin B
2·Flink·sin 20° = 250
Flink = 365,5 N
Gaya penjepitan
Q = Flink·cos 20° = 250/(2·tan 20°) = 343,4 N
Jawaban
Q = 343,4 N
Rasio gaya Q/F = 1,374 tumbuh tanpa batas saat batang penghubung meluruskan diri.
8.Rangka & mesin
Jawaban: C = 1,139 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Reaksi tumpuan di B
By = 4·0,6/2,4 = 1 kN
Gaya tali pengikat
T = 1·1,2/2,2 = 0,5455 kN
Gaya pin pada BC
Cx = 0,5455 kN, Cy = −1 kN
C = √(0,5455² + 1²) = 1,139 kN
Jawaban
C = 1,139 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mmax = 177,5 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
ΣMA = 0: RB·10 = 15·2 + 65·5
RB = 355/10 = 35,5 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 35,5 = 44,5 kN
Momen di bawah tiap beban
Ambil bagian di kiri tiap beban.
di bawah P1: M = RA·2 = 44,5·2 = 89 kN·m
di bawah P2: M = RB·5 = 35,5·5 = 177,5 kN·m
Nilai terbesar
Mmax = 177,5 kN·m (di bawah P2)
Jawaban
Mmax = 177,5 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mmax = 28,13 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bekerja di x̄ = 5 m
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 300·25 = 7500 mm², yf = 140 + 25/2 = 152,5 mm
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 100·10 = 1000 mm², yf = 300 + 10/2 = 305 mm
badan: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm