Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan sudut θ antara vektor a = (5, −4, −1) dan b = (−4, −2, −2), dalam derajat.
a = (5, −4, −1)b = (−4, −2, −2)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (2, −2, −5), b = (−3, −4, 3), dan c = (4, 1, 5).
a = (2, −2, −5)b = (−3, −4, 3)c = (4, 1, 5)
V =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 1,5 m dari A dan kopel berlawanan arah jarum jam M pada 1 m dari A. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.
L = 4 mP = 80 kN di 1,5 mM = 10 kN·m (berlawanan arah jarum jam) di 1 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 1 m dari A, miring 40° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 3 m dari A. Cari sudut α antara gaya reaksi total di sendi A dan horizontal.
L = 5 mP = 80 kN di 1 m, θ = 40°Q = 20 kN di 3 m
α = °
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
B: 40 kN ↓D: 40 kN ↓G: 30 kN ↓
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
B: 15 kN ↓F: 30 kN ↓G: 40 kN ↓H: 40 kN ←
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG
7.Rangka & mesinSedang
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 4,8 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4,5 m dan tali pengikat horizontal DE 2 m di atas tanah. Beban vertikal 15 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,44 m (secara horizontal) dari A. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 15 kNAB = 4,8 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 2 mjarak horizontal A ke K = 1,44 m
T = kN
8.Rangka & mesinSulit
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2,4 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 2 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 1 m. Gaya horizontal 5 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 5 kNAB = 2,4 mtinggi C = 2 mtinggi DE = 1 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1,5 m dari A. Cari momen lentur MA di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 2 mP = 35 kN di 1,5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 2 m
MA = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.
L = 6 mP = 30 kN di 3 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 6 m
Mmax = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Sebuah pelat 150 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 195 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Sebuah pelat 150 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 30 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 105 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 150 mmh = 150 mmpotongan: 30 × 20 mmpusat lubang: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: θ = 108,4 °
Perkalian titik:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.
Hasil kali titik
a·b = 5·(−4) + (−4)·(−2) + (−1)·(−2) = −10
Besar vektor
|a| = √(5² + (−4)² + (−1)²) = 6,481
|b| = √((−4)² + (−2)² + (−2)²) = 4,899
Sudut
cos θ = −10/(6,481·4,899) = −0,315
θ = arccos(−0,315) = 108,4°
Jawaban
θ = 108,4°
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: V = 165
Perkalian silang:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah MO = r × F, dengan r = A − O.
Hasil kali silang b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−4)·5 − 3·1 = −23
(b × c)y = bzcx − bxcz = 3·4 − (−3)·5 = 27
(b × c)z = bxcy − bycx = (−3)·1 − (−4)·4 = 13
Hasil kali titik dengan a
a·(b × c) = 2·(−23) + (−2)·27 + (−5)·13 = −165
V = |−165| = 165
Jawaban
V = 165
3.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RB = 27,5 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Momen terhadap A
Berlawanan arah jarum jam positif.
ΣMA = 0: RB·4 − 80·1,5 + 10 = 0
RB = 110/4 = 27,5 kN
Kesetimbangan vertikal
RA = 80 − 27,5 = 52,5 kN
Jawaban
RB = 27,5 kN
Reaksi negatif bekerja ke bawah.
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: α = 38,72 °
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Komponen P
Pv = 80·sin 40° = 51,42 kN
Ph = 80·cos 40° = 61,28 kN
Reaksi
ΣMA = 0: RB·5 = 51,42·1 + 20·3 → RB = 22,28 kN
Ay = 51,42 + 20 − 22,28 = 49,14 kN
Ax = Ph = 61,28 kN
Arah di A
α = atan(Ay/Ax) = atan(49,14/61,28) = 38,72°
Jawaban
α = 38,72°
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: elemen CG
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By = 15·1,44/4,8 = 4,5 kN
Kaki BC: momen terhadap C
4,5·2,4 = T·2,5
T = 4,32 kN
Jawaban
T = 4,32 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: T = 5 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By·2,4 = 5·2
By = 4,167 kN
Kaki BC: momen terhadap C
4,167·1,2 = T·1
T = 5 kN
Jawaban
T = 5 kN
T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: MA = −72,5 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Ambil bagian ujung bebas
P: −35·1,5 = −52,5 kN·m
w: −10·2²/2 = −20 kN·m
MA = −52,5 − 20 = −72,5 kN·m
Jawaban
MA = −72,5 kN·m
Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mmax = 63 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·3 + 4·6·3
RB = 162/6 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 27 = 27 kN
Di mana V = 0?
V(3⁻) = RA − w·3 = 15 kN
V(3⁺) = 15 − 30 = −15 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.
Momen maksimum
Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 27·3 − 4·3²/2 = 63 kN·m
Jawaban
Mmax = 63 kN·m
Terjadi di x = 3 m dari A.
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 333 × 10⁶ mm⁴
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (45000·150 − 1963·195)/(45000 − 1963) = 147,9 mm
Pelat penuh terhadap ȳ
150·300³/12 + 45000·2,053² = 337,7 × 10⁶ mm⁴
Lubang terhadap ȳ
π·50⁴/64 + 1963·47,05² = 4,654 × 10⁶ mm⁴
Kurangkan
Ix = 333 × 10⁶ mm⁴
Jawaban
Ix = 333 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 41,61 × 10⁶ mm⁴
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.