Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (6, −6, 1) pada b = (4, −5, −2), yaitu komponen a searah b.

a = (6, −6, 1)b = (4, −5, −2)

comp_b a =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (2, 5, 2), b = (−5, 5, −2), dan c = (−3, 0, −4).

a = (2, 5, 2)b = (−5, 5, −2)c = (−3, 0, −4)

V =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 6 kN/m di A sampai nol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 8 mw₀ = 6 kN/m

R_B = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (4 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (10 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 9 m dari A dan beban terpusat Q pada 1 m dari A. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

AC = 4 mAD = 10 mP = 25 kN di 9 mQ = 75 kN di 1 m

M_A = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 25 kN

F_BC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 15 kNbeban horizontal = 30 kN ←

F_AB = kN

7.Rangka & mesinSedang

Sebuah balok horizontal AB dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditopang oleh batang penyangga CD, yang dipasang dengan pin pada dinding di C, 1 m di bawah A. Beban 2 kN tergantung di B. Abaikan berat. Cari besar gaya pin A pada balok di A.

P = 2 kNAD = 0,6 mAB = 2 mAC = 1 m

A = kN

8.Rangka & mesinSulit

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 5 m, dengan pin puncaknya C setinggi 2,5 m dan tali pengikat horizontal DE 1 m di atas tanah. Beban vertikal 5 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,875 m (secara horizontal) dari A. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 5 kNAB = 5 mtinggi C = 2,5 mtinggi DE = 1 mjarak horizontal A ke K = 1,875 m

C = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1 m dari A. Cari momen lentur M_A di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2 mP = 65 kN di 1 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 2 m

M_A = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 3,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 10 kN di 3,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 200 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 140 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 150 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 130 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 200 mmpotongan: 50 × 40 mmpusat lubang: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = 7,752

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 6·4 + (−6)·(−5) + 1·(−2) = 52

Panjang b

|b| = √(4² + (−5)² + (−2)²) = 6,708

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = 52/6,708 = 7,752

Jawaban

comp_b a = 7,752

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: V = 80

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 5·(−4) − (−2)·0 = −20

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·(−3) − (−5)·(−4) = −14

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·0 − 5·(−3) = 15

Hasil kali titik dengan a

a·(b × c) = 2·(−20) + 5·(−14) + 2·15 = −80

V = |−80| = 80

Jawaban

V = 80

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 8 kN

Resultan beban segitiga

W = ½·6·8 = 24 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 24·2,667

R_B = 8 kN

R_A = 24 − 8 = 16 kN

Jawaban

R_B = 8 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 91,67 kN·m

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

ΣM_C = 0: R_D·6 = 25·5

R_D = 20,83 kN

V_C = 25 − 20,83 = 4,167 kN

Bagian AC

Gaya sendi V_C bekerja ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan arah dengan aksinya pada CD).

R_A = 75 + 4,167 = 79,17 kN

M_A = 75·1 + 4,167·4 = 91,67 kN·m

Jawaban

M_A = 91,67 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −19,76 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,9487 = −19,76 kN

Jawaban

F_BC = −19,76 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −29,7 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 − 30·2 → C_y = −6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −6 = 21 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −21/0,7071 = −29,7 kN

Jawaban

F_AB = −29,7 kN (tekan)

7.Rangka & mesin

Jawaban: A = 6,146 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya batang penyangga

F_CD = 2·2/(0,8575·0,6) = 7,775 kN

Komponen di A

A_x = F_CD·cos α = 4 kN (menuju dinding)

A_y = 2 − F_CD·sin α = −4,667 kN

Besar

A = √(4² + −4,667²) = 6,146 kN

Jawaban

A = 6,146 kN

A_y negatif berarti dinding menarik balok ke bawah di A.

8.Rangka & mesin

Jawaban: C = 3,644 kN

Reaksi tumpuan di B

B_y = 5·1,875/5 = 1,875 kN

Gaya tali pengikat

T = 1,875·2,5/1,5 = 3,125 kN

Gaya pin pada BC

C_x = 3,125 kN, C_y = −1,875 kN

C = √(3,125² + 1,875²) = 3,644 kN

Jawaban

C = 3,644 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_A = −75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −65·1 = −65 kN·m

w: −5·2²/2 = −10 kN·m

M_A = −65 − 10 = −75 kN·m

Jawaban

M_A = −75 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 26,25 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3,5 + 6·5·2,5

R_B = 110/5 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 22 = 18 kN

Potong di x = 3,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 18·3,5 − 6·3,5·1,75 = 26,25 kN·m

Jawaban

M_x = 26,25 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (40000·100 − 1257·140)/(40000 − 1257) = 98,7 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·200³/12 + 40000·1,297² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·41,3² = 2,269 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 97,8 × 10⁶ mm⁴

Titik berat

ȳ = (30000·100 − 2000·130)/(30000 − 2000) = 97,86 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·200³/12 + 30000·2,143² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·40³/12 + 2000·32,14² = 2,333 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 97,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 97,8 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics