Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan nilai k agar vektor a = (5, −3, −2) dan b = (6, k, −1) saling tegak lurus.

a = (5, −3, −2)b = (6, k, −1)

k =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (−1, 0, 1) dan b = (2, 1, 3), tentukan komponen z (a × b)_z dari hasil kali silang a × b.

a = (−1, 0, 1)b = (2, 1, 3)

(a × b)_z =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 20 kN/m di A sampai nol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 5 mw₀ = 20 kN/m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (2,5 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 3 m dari A dan beban terpusat Q pada 2 m dari A. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 15 kN di 3 mQ = 35 kN di 2 m

M_A = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 4 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 15 kN

F_AB = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 50 kNbeban horizontal = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Rangka & mesinSedang

Sebuah balok horizontal AB dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditopang oleh batang penyangga CD, yang dipasang dengan pin pada dinding di C, 1,2 m di bawah A. Beban 8 kN tergantung di B. Abaikan berat. Cari besar gaya pin A pada balok di A.

P = 8 kNAD = 0,75 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Rangka & mesinSulit

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 4,8 m, dengan pin puncaknya C setinggi 2,5 m dan tali pengikat horizontal DE 1 m di atas tanah. Beban vertikal 20 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,44 m (secara horizontal) dari A. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 20 kNAB = 4,8 mtinggi C = 2,5 mtinggi DE = 1 mjarak horizontal A ke K = 1,44 m

C = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 3 m20 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 20 kN di 2,5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 144 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 240 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 50 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_atas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: k = 10,67

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik sama dengan nol

a·b = 5·6 + (−3)·k + (−2)·(−1) = 0

32 + (−3)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −32/(−3) = 10,67

Jawaban

k = 10,67

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_z = −1

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·3 − 1·1 = −1

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·2 − (−1)·3 = 5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·1 − 0·2 = −1

Komponen yang diminta

(a × b)_z = −1

Jawaban

(a × b)_z = −1

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 33,33 kN

Resultan beban segitiga

W = ½·20·5 = 50 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,667

R_B = 16,67 kN

R_A = 50 − 16,67 = 33,33 kN

Jawaban

R_A = 33,33 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 102,1 kN·m

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

ΣM_C = 0: R_D·3,5 = 15·0,5

R_D = 2,143 kN

V_C = 15 − 2,143 = 12,86 kN

Bagian AC

Gaya sendi V_C bekerja ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan arah dengan aksinya pada CD).

R_A = 35 + 12,86 = 47,86 kN

M_A = 35·2 + 12,86·2,5 = 102,1 kN·m

Jawaban

M_A = 102,1 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −4,002 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·5 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12,5 = 2,5 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,6247 = −4,002 kN

Jawaban

F_AB = −4,002 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −40 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·3 − 15·4 → C_y = 18 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 18 = 32 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −32/0,8 = −40 kN

Jawaban

F_AB = −40 kN (tekan)

7.Rangka & mesin

Jawaban: A = 12,81 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya batang penyangga

F_CD = 8·1,5/(0,848·0,75) = 18,87 kN

Komponen di A

A_x = F_CD·cos α = 10 kN (menuju dinding)

A_y = 8 − F_CD·sin α = −8 kN

Besar

A = √(10² + −8²) = 12,81 kN

Jawaban

A = 12,81 kN

A_y negatif berarti dinding menarik balok ke bawah di A.

8.Rangka & mesin

Jawaban: C = 11,32 kN

Reaksi tumpuan di B

B_y = 20·1,44/4,8 = 6 kN

Gaya tali pengikat

T = 6·2,4/1,5 = 9,6 kN

Gaya pin pada BC

C_x = 9,6 kN, C_y = −6 kN

C = √(9,6² + 6²) = 11,32 kN

Jawaban

C = 11,32 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 34,17 kN, R₂ = 40,83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 34,17, M_C = 68,33, M_D = 102,5 kN·m, M_E = 81,67, M_F = 40,83, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 102,5 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 16,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·2,5 + 10·5·2,5

R_B = 175/5 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 35 = 35 kN

Potong di x = 4,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 35·4,5 − 20·(4,5 − 2,5) − 10·4,5·2,25 = 16,25 kN·m

Jawaban

M_x = 16,25 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 135,8 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (28800·120 − 2827·144)/(28800 − 2827) = 117,4 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·240³/12 + 28800·2,613² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·26,61² = 2,639 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 135,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 135,8 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 90,54 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

badan: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·207,5 + 2400·100)/6600 = 168,4 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 280·15³/12 + 4200·(207,5 − 168,4)² = 6,497 × 10⁶ mm⁴

badan: 12·200³/12 + 2400·(100 − 168,4)² = 1,923 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,497 × 10⁶ + 1,923 × 10⁷ = 2,573 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 215 − 168,4 = 46,59 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·46,59/2,573 × 10⁷ = 90,54 MPa

Jawaban

σ_atas = 90,54 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics