Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Gaya konstan F = (−10, 10, 25) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(0, −5, 0) ke titik B(2, 4, −5). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.

F = (−10, 10, 25) NA(0, −5, 0) mB(2, 4, −5) m

W = J

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (4, 2, 5), b = (−2, 2, −3), dan c = (−5, −1, 5).

a = (4, 2, 5)b = (−2, 2, −3)c = (−5, −1, 5)

V =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

AB = 4 mAC = 5 mP₁ = 40 kN di 2 mP₂ = 60 kN di 5 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 2,5 m dari A, miring 50° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 3,5 m dari A. Cari besar gaya reaksi total R_A di sendi A.

L = 4 mP = 20 kN di 2,5 m, θ = 50°Q = 80 kN di 3,5 m

R_A = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

D: 35 kN ↓F: 15 kN ↓G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 25 kNbeban horizontal = 15 kN ←

F_AC = kN

7.Rangka & mesinSedang

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 5 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4,5 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 1,2 m di atas tanah. Beban 4 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 4 kNAB = 5 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 1,2 m

C = kN

8.Rangka & mesinSulit

Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 0,5 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari ujungnya B ke titik C pada dinding, 2 m di atas A. Beban 2 kN tergantung di B. Cari tarikan T pada kabel.

W = 2 kNW_b = 0,5 kNAB = 2 mAC = 2 m

T = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P₁ di antara tumpuan dan beban terpusat P₂ di C. Cari momen lentur M_x di bawah beban P₁. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 7 mP₁ = 55 kN di 2,5 mP₂ = 10 kN di 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur positif maksimum M_max di antara tumpuan.

L = 6,5 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 6,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m

M_max = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 10 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmM = 10 kN·m

σ_atas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: W = −55 J

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Perpindahan

d = B − A = (2, 4, −5) − (0, −5, 0) = (2, 9, −5) m

Usaha

W = F·d = (−10)·2 + 10·9 + 25·(−5) = −55 J

Jawaban

W = −55 J

Usaha negatif: gaya sebagian besar bekerja melawan gerakan.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: V = 138

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 2·5 − (−3)·(−1) = 7

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·(−5) − (−2)·5 = 25

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·(−1) − 2·(−5) = 12

Hasil kali titik dengan a

a·(b × c) = 4·7 + 2·25 + 5·12 = 138

V = |138| = 138

Jawaban

V = 138

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 5 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2 + 60·5

R_B = 380/4 = 95 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 40 + 60 − 95 = 5 kN

Jawaban

R_A = 5 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 20,33 kN

Komponen P

P_v = 20·sin 50° = 15,32 kN

P_h = 20·cos 50° = 12,86 kN

Reaksi

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15,32·2,5 + 80·3,5 → R_B = 79,58 kN

A_y = 15,32 + 80 − 79,58 = 15,75 kN

A_x = P_h = 12,86 kN

Resultan di A

R_A = √(12,86² + 15,75²) = 20,33 kN

Jawaban

R_A = 20,33 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen BF

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 46,67 kN (T), BC: 46,67 kN (T), CD: 86,67 kN (T), DE: 86,67 kN (T), FG: 73,33 kN (C), GH: 73,33 kN (C), AF: 58,33 kN (C), HE: 108,3 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 33,33 kN (T), HC: 16,67 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: BF

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 5,625 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 − 15·2 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 11,25 = 13,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,8944 = −12,58 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−12,58)·0,4472 = 5,625 kN

Jawaban

F_AC = 5,625 kN (tarik)

7.Rangka & mesin

Jawaban: C = 2,509 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya tali pengikat dari kaki BC

B_y = 2 kN

T = 2·2,5/3,3 = 1,515 kN

Komponen gaya pin pada BC

C_x = T = 1,515 kN, C_y = −B_y = −2 kN

Besar

C = √(1,515² + 2²) = 2,509 kN

Jawaban

C = 2,509 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: T = 3,182 kN

Sudut kabel

BC = √(2² + 2²) = 2,828 m, sin β = 0,7071

Momen terhadap A

T·0,7071·2 = 2·2 + 0,5·1

T = 3,182 kN

Jawaban

T = 3,182 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 76,04 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2,5 + 10·7

R_B = 207,5/6 = 34,58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 34,58 = 30,42 kN

Potong di bawah P₁ dan ambil bagian kiri

M_x = R_A·2,5 = 30,42·2,5 = 76,04 kN·m

Jawaban

M_x = 76,04 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 7,763 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·6,5 = 19,5 kN, bekerja di x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·6,5·3,25

R_B = 63,38/5 = 12,68 kN

ΣF_y = 0: R_A = 19,5 − 12,68 = 6,825 kN

Gaya geser nol

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 6,825/3 = 2,275 m

Momen positif maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 6,825²/(2·3) = 7,763 kN·m

Jawaban

M_max = 7,763 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 7,896 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

badan: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·127,5 + 1920·60)/5220 = 102,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 220·15³/12 + 3300·(127,5 − 102,7)² = 2,096 × 10⁶ mm⁴

badan: 16·120³/12 + 1920·(60 − 102,7)² = 5,8 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,096 × 10⁶ + 5,8 × 10⁶ = 7,896 × 10⁶ mm⁴ = 7,896 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 7,896 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 92,54 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

badan: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·105 + 1200·50)/2800 = 81,43 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·10³/12 + 1600·(105 − 81,43)² = 902313 mm⁴

badan: 12·100³/12 + 1200·(50 − 81,43)² = 2,185 × 10⁶ mm⁴

I_x = 902313 + 2,185 × 10⁶ = 3,088 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 110 − 81,43 = 28,57 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·28,57/3,088 × 10⁶ = 92,54 MPa

Jawaban

σ_atas = 92,54 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Statika: paket kilat

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Metode

Reaksi tumpuan balok

Metode

Rangka batang: metode titik buhul

Metode

Rangka & mesin

Metode

Gaya geser & momen lentur

Metode

Titik berat & momen inersia

2Soal latihan

3Larutan

Perpindahan

Usaha

Jawaban

Hasil kali silang b × c

Hasil kali titik dengan a

Jawaban

Momen terhadap A

Kesetimbangan vertikal

Jawaban

Komponen P

Reaksi

Resultan di A

Jawaban

Simpul B

Periksa dengan metode simpul

Jawaban

Reaksi tumpuan

Titik buhul C

Jawaban

Gaya tali pengikat dari kaki BC

Komponen gaya pin pada BC

Besar

Jawaban

Sudut kabel

Momen terhadap A

Jawaban

Reaksi tumpuan

Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri

Jawaban

Reaksi tumpuan

Gaya geser nol

Momen positif maksimum

Jawaban

Bagi menjadi dua persegi panjang

Titik berat

Teorema sumbu sejajar

Jawaban

Bagi menjadi dua persegi panjang

Titik berat

Teorema sumbu sejajar

Tegangan lentur

Jawaban

Potong di bawah P₁ dan ambil bagian kiri