Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|

Metode

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
  3. Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban

Metode

  1. Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
  2. Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
  3. Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
  4. Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
xyzab

Tentukan sudut θ antara vektor a = (−5, 1, 6) dan b = (4, −6, −4), dalam derajat.

a = (−5, 1, 6)b = (4, −6, −4)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
xyzab

Tentukan luas A jajar genjang yang direntang oleh a = (0, −1, −3) dan b = (−5, −4, 3).

a = (0, −1, −3)b = (−5, −4, 3)
A =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
w0​ = 4 kN/mABRB​ = ?5 m

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 4 kN/m di A sampai nol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 5 mw0 = 4 kN/m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 3 kN/mP = 20 kNABRA​ = ?RB​1 m2 m3 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 8 mP = 20 kN di 6 mw = 3 kN/m dari 1 sampai 3 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH25 kN10 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 25 kN ↓G: 10 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen FC
  13. 13elemen HC
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABCDEFGH10 kN15 kN25 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

D: 10 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
7.Rangka & mesinSedang
5 kN5 m1,5 m3 m1,875 mABCDEK

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 5 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4,5 m dan tali pengikat horizontal DE 1,5 m di atas tanah. Beban vertikal 5 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,875 m (secara horizontal) dari A. Cari tarikan T pada tali pengikat.

P = 5 kNAB = 5 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 1,5 mjarak horizontal A ke K = 1,875 m
T = kN
8.Rangka & mesinSulit
20 kN2 m2 m2 mABCDE

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 2 m. Gaya horizontal 20 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.

P = 20 kNAB = 2 mtinggi C = 4 mtinggi DE = 2 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
60 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

60 kN @ 5 m25 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 5 kN/mP = 20 kNAB1 m3 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 4 mP = 20 kN di 1 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 4 m
Mmax = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
220170t = 16ȳ = ?dimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 220 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 170 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 16 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 220 mmh = 170 mmt = 16 mm
ȳ = mm
12.Titik berat & momen inersiaSulit
2104601214xM = 40 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 210 mm dan setebal 12 mm, tinggi total 460 mm, dan badan setebal 14 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 40 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σj di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 210 mmH = 460 mmtf = 12 mmtw = 14 mmM = 40 kN·m
σj = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 140,4 °

Perkalian titik: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = (−5)·4 + 1·(−6) + 6·(−4) = −50

Besar vektor

|a| = √((−5)² + 1² + 6²) = 7,874
|b| = √(4² + (−6)² + (−4)²) = 8,246

Sudut

cos θ = −50/(7,874·8,246) = −0,7701
θ = arccos(−0,7701) = 140,4°

Jawaban

θ = 140,4°
2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: A = 21,79

Perkalian silang: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah MO = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)x = aybz − azby = (−1)·3 − (−3)·(−4) = −15
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·(−5) − 0·3 = 15
(a × b)z = axby − aybx = 0·(−4) − (−1)·(−5) = −5

Luas

A = |a × b| = √((−15)² + 15² + (−5)²) = 21,79

Jawaban

A = 21,79
3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 3,333 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·4·5 = 10 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·5 = 10·1,667
RB = 3,333 kN
RA = 10 − 3,333 = 6,667 kN

Jawaban

RB = 3,333 kN
4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 9,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 3 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1 m2 m3 m2 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·6 + 3·2·2
RB = 132/8 = 16,5 kN
ΣFy = 0: RA = 26 − 16,5 = 9,5 kN

Jawaban

RA = 9,5 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen DH

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 17,81 kN (T), BC: 17,81 kN (T), CD: 8,437 kN (T), DE: 8,437 kN (T), FG: 16,88 kN (C), GH: 16,88 kN (C), AF: 29,69 kN (C), HE: 14,06 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 1,563 kN (C), HC: 14,06 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: DH
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 11,25 kN (C), BC: 2,5 kN (T), CD: 2,5 kN (T), DE: 5 kN (T), FG: 13,75 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 22,92 kN (C), HE: 8,333 kN (C), BF: 18,33 kN (T), CG: 0, DH: 6,667 kN (T), BG: 22,92 kN (C), DG: 4,167 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
7.Rangka & mesin

Jawaban: T = 1,563 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Seluruh rangka: momen terhadap A

By = 5·1,875/5 = 1,875 kN

Kaki BC: momen terhadap C

1,875·2,5 = T·3
T = 1,563 kN

Jawaban

T = 1,563 kN
8.Rangka & mesin

Jawaban: T = 20 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Seluruh rangka: momen terhadap A

By·2 = 20·4
By = 40 kN

Kaki BC: momen terhadap C

40·1 = T·2
T = 20 kN

Jawaban

T = 20 kN

T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 30,83 kN, R2 = 54,17 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 30,83, MC = 36,67, MD = 42,5, ME = 48,33, MF = 54,17 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = 54,17 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 22,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·1 + 5·4·2
RB = 60/4 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 15 = 25 kN

Di mana V = 0?

V(1⁻) = RA − w·1 = 20 kN
V(1⁺) = 20 − 20 = 0 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·1 − w·1²/2 = 25·1 − 5·1²/2 = 22,5 kN·m

Jawaban

Mmax = 22,5 kN·m

Terjadi di x = 1 m dari A.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 57,58 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 220·16 = 3520 mm², y1 = 8 mm
dua kaki: A2 = 2·16·154 = 4928 mm², y2 = 16 + 154/2 = 93 mm

Titik berat

ȳ = (3520·8 + 4928·93)/8448 = 57,58 mm

Jawaban

ȳ = 57,58 mm
12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σj = 24,94 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 460 − 2·12 = 436 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·460³ − 196·436³)/12
Ix = 3,496 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 230 − 12 = 218 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·218/3,496 × 10⁸ = 24,94 MPa

Jawaban

σj = 24,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics