Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan sudut θ antara vektor a = (0, −3, 2) dan b = (−4, −3, 6), dalam derajat.
a = (0, −3, 2)b = (−4, −3, 6)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (3, −3, 0) dan b = (3, 2, −4) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen x n̂x.
a = (3, −3, 0)b = (3, 2, −4)n̂z > 0
n̂x =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, naik dari nol di A sampai 20 kN/m di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 4 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.
L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 80 kN di 4 m
RA = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (3,5 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 4 m dari A, beban merata w di seluruh bagian CD dan beban terpusat Q pada 1,5 m dari A. Cari reaksi RD di rol.
AC = 3,5 mAD = 6 mP = 60 kN di 4 mw = 5 kN/m dari 3,5 sampai 6 mQ = 35 kN di 1,5 m
RD = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
D: 35 kN ↓H: 35 kN ↓
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 5 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 3,6 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 1,5 m di atas tanah. Beban 20 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.
P = 20 kNAB = 5 mtinggi C = 3,6 mtinggi DE = 1,5 m
C = kN
8.Rangka & mesinSulit
Balok AB pada braket dinding yang ditunjukkan dipasang dengan pin di A dan ditopang oleh batang penyangga CD (C berada 1,2 m di bawah A). Balok memikul beban merata 1,5 kN/m sepanjang seluruh panjangnya dan beban titik 12 kN pada ujung bebasnya B. Cari gaya FCD pada batang penyangga.
w = 1,5 kN/mP = 12 kNAD = 1,2 mAB = 2 mAC = 1,2 m
FCD = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1,5 m dari A. Cari momen lentur Mx pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 2 mP = 15 kN di 1,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 2 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.
45 kN @ 0 m40 kN @ 12 m15 kN @ 4 m10 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Penampang persegi panjang berongga (kotak) memiliki lebar luar B = 180 mm, tinggi luar H = 400 mm, dan tebal dinding seragam t = 18 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.
B = 180 mmH = 400 mmt = 18 mm
r = mm
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Sebuah pelat 100 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 72 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 100 mmh = 240 mmpotongan: 50 × 20 mmpusat lubang: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: θ = 41,78 °
Perkalian titik:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.
Hasil kali titik
a·b = 0·(−4) + (−3)·(−3) + 2·6 = 21
Besar vektor
|a| = √(0² + (−3)² + 2²) = 3,606
|b| = √((−4)² + (−3)² + 6²) = 7,81
Sudut
cos θ = 21/(3,606·7,81) = 0,7457
θ = arccos(0,7457) = 41,78°
Jawaban
θ = 41,78°
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: n̂x = 0,5298
Perkalian silang:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah MO = r × F, dengan r = A − O.
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Resultan beban segitiga
W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·5 = 50·3,333 + 80·4
RB = 97,33 kN
RA = 130 − 97,33 = 32,67 kN
Jawaban
RA = 32,67 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RD = 18,25 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.
Bagian CD
Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.
W = 5·2,5 = 12,5 kN di 1,25 m dari C
ΣMC = 0: RD·2,5 = 60·0,5 + 12,5·1,25
RD = 18,25 kN
VC = 72,5 − 18,25 = 54,25 kN
Jawaban
RD = 18,25 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: elemen CG
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·5 = 45·4 + 10·2 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 40 = 5 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Titik buhul A
Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.
sin α = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5/0,4472 = −11,18 kN
Jawaban
FAB = −11,18 kN (tekan)
7.Rangka & mesin
Jawaban: C = 15,55 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Gaya tali pengikat dari kaki BC
By = 10 kN
T = 10·2,5/2,1 = 11,9 kN
Komponen gaya pin pada BC
Cx = T = 11,9 kN, Cy = −By = −10 kN
Besar
C = √(11,9² + 10²) = 15,55 kN
Jawaban
C = 15,55 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: FCD = 31,82 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Resultan beban merata
w·L = 1,5·2 = 3 kN di 1 m
Momen terhadap A untuk balok
FCD·0,7071·1,2 = 3·1 + 12·2 = 27 kN·m
FCD = 31,82 kN
Jawaban
FCD = 31,82 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = −21,75 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Ambil bagian ujung bebas
P: −15·1 = −15 kN·m
w: −6·1,5²/2 = −6,75 kN·m
Mx = −15 − 6,75 = −21,75 kN·m
Jawaban
Mx = −21,75 kN·m
Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: B (x = 2 m)
Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).
Reaksi tumpuan
Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.
R1 = 97,5 kN, R2 = 82,5 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.
MA = 0, MB = −90 kN·m, MC = −5, MD = 10, ME = −15, MF = −80, MG = 0
Jawaban
Tanda B: MB = −90 kN·m
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: r = 139,5 mm
Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.
Luas bersih dan momen inersia
b = 144 mm, h = 364 mm
A = BH − bh = 180·400 − 144·364 = 19584 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 3,813 × 10⁸ mm⁴
Jari-jari girasi
r = √(I/A) = √(3,813 × 10⁸/19584) = 139,5 mm
Jawaban
r = 139,5 mm
12.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 112,8 × 10⁶ mm⁴
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (24000·120 − 1000·72)/(24000 − 1000) = 122,1 mm