Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan hasil kali titik a·b dari a = (−3, −2, 0) dan b = (−2, −4, −6).

a = (−3, −2, 0)b = (−2, −4, −6)

a·b =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (−6, −5, −1) dan b = (−2, −1, −6), tentukan komponen y (a × b)_y dari hasil kali silang a × b.

a = (−6, −5, −1)b = (−2, −1, −6)

(a × b)_y =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w dari dinding sampai 4 m dan beban terpusat P pada 6 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 10 mP = 50 kN di 6 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 4 m

M_A = kN·m

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (2,5 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 3,5 m dari A, beban merata w di seluruh bagian CD. Cari reaksi R_D di rol.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 10 kN di 3,5 mw = 8 kN/m dari 2,5 sampai 6 m

R_D = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 6 m dari Abeban vertikal = 20 kN

F_BC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 35 kNbeban horizontal = 10 kN ←

F_BC = kN

7.Rangka & mesinSedang

Rangka yang ditunjukkan memiliki pin di A, B, dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 3 m, dan B berada 4 m di atas tanah dan 1,35 m di kanan A. Beban vertikal 12 kN bekerja pada batang AB di K, 0,3375 m (secara horizontal) dari A. Cari gaya F_BC pada batang BC.

P = 12 kNL = 3 mH = 4 mjarak horizontal A ke B = 1,35 mjarak horizontal A ke K = 0,3375 m

F_BC = kN

8.Rangka & mesinSulit

Rangka yang ditunjukkan memiliki pin di A, B, dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 4 m, dan B setinggi 2,5 m dan 1,2 m di kanan A. Batang AB memikul beban vertikal 10 kN di K, 0,72 m (secara horizontal) dari A, dan beban horizontal 8 kN ke kanan bekerja di B pada batang AB. Cari besar reaksi horizontal A_x di A.

P = 10 kNQ = 8 kNL = 4 mH = 2,5 mjarak horizontal A ke B = 1,2 mjarak horizontal A ke K = 0,72 m

A_x = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 7,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 35 kN di 1 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmM = 40 kN·m

σ_bawah = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: a·b = 14

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan

a·b = (−3)·(−2) + (−2)·(−4) + 0·(−6) = 6 + 8 + 0 = 14

Jawaban

a·b = 14

Positif: sudut di antara kedua vektor kurang dari 90°.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_y = −34

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·(−6) − (−1)·(−1) = 29

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−2) − (−6)·(−6) = −34

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·(−1) − (−5)·(−2) = −4

Komponen yang diminta

(a × b)_y = −34

Jawaban

(a × b)_y = −34

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 348 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m

Momen terhadap dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 50·6 + 24·2 = 348 kN·m

Jawaban

M_A = 348 kN·m

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_D = 16,86 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

W = 8·3,5 = 28 kN di 1,75 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·3,5 = 10·1 + 28·1,75

R_D = 16,86 kN

V_C = 38 − 16,86 = 21,14 kN

Jawaban

R_D = 16,86 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −21,21 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·6 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15 = 5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,7071 = −21,21 kN

Jawaban

F_BC = −21,21 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −16,75 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 − 10·4 → C_y = 16,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 16,25 = 18,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16,25/0,9701 = −16,75 kN

Jawaban

F_BC = −16,75 kN (tekan)

7.Rangka & mesin

Jawaban: F_BC = 1,46 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Batang dua gaya BC

BC = √(1,65² + 4²) = 4,327 m

Seluruh rangka: momen terhadap A

Tanah mendorong BC di C sepanjang CB; komponen horizontalnya melalui A, hanya yang vertikal yang memiliki momen.

F_BC·(4/4,327)·3 = 12·0,3375

F_BC = 1,46 kN (tekan)

Jawaban

F_BC = 1,46 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: A_x = 0,384 kN

Arah BC

BC = 3,754 m, cos = 0,7459, sin = 0,666

Seluruh rangka: momen terhadap A

F_BC·0,666·4 = 10·0,72 + 8·2,5

F_BC = 10,21 kN

Keseimbangan horizontal

A_x + 8 − 10,21·0,7459 = 0

A_x = −0,384 kN → |A_x| = 0,384 kN

Jawaban

A_x = 0,384 kN

Tanda minus berarti A_x mengarah ke kiri.

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 18,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Potong di x = 7,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 40·7,5 − 10·7,5·3,75 = 18,75 kN·m

Jawaban

M_x = 18,75 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 72,63 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·1 + 12·8·4

R_B = 419/8 = 52,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 131 − 52,38 = 78,63 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 78,63·1 − 12·1·0,5 = 72,63 kN·m

Jawaban

M_x = 72,63 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 5,695 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

badan: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·115 + 1400·50)/5000 = 96,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·30³/12 + 3600·(115 − 96,8)² = 1,462 × 10⁶ mm⁴

badan: 14·100³/12 + 1400·(50 − 96,8)² = 4,233 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,462 × 10⁶ + 4,233 × 10⁶ = 5,695 × 10⁶ mm⁴ = 5,695 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 5,695 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 167,9 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

badan: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·292,5 + 2800·140)/5800 = 218,9 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·25³/12 + 3000·(292,5 − 218,9)² = 1,642 × 10⁷ mm⁴

badan: 10·280³/12 + 2800·(140 − 218,9)² = 3,571 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,642 × 10⁷ + 3,571 × 10⁷ = 5,213 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 218,9 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·218,9/5,213 × 10⁷ = 167,9 MPa

Jawaban

σ_bawah = 167,9 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics