Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan hasil kali titik a·b dari a = (0, 6, 1) dan b = (1, −1, −5).

a = (0, 6, 1)b = (1, −1, −5)

a·b =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (−1, −6, −1) dan b = (3, 1, −6), tentukan komponen z (a × b)_z dari hasil kali silang a × b.

a = (−1, −6, −1)b = (3, 1, −6)

(a × b)_z =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 12 kN/m di A sampai nol di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 4,5 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 5 mw₀ = 12 kN/mP = 10 kN di 4,5 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 2 m dari A, miring 45° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 3,5 m dari A. Cari besar gaya reaksi total R_A di sendi A.

L = 6 mP = 55 kN di 2 m, θ = 45°Q = 10 kN di 3,5 m

R_A = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 3 mB berjarak 7 m dari Abeban vertikal = 55 kN

F_AC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

H: 40 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

7.Rangka & mesinSedang

Pada penjepit toggle yang ditunjukkan, dua batang penghubung AB dan BC yang sama panjang dipasang dengan pin di B, dan masing-masing membentuk sudut 25° dengan garis AC. Gaya ke bawah 200 N dikenakan di B. Penggeser C menekan benda kerja. Dengan mengabaikan gesekan dan berat, cari gaya penjepitan horizontal Q.

F = 200 Nθ = 25°

Q = N

8.Rangka & mesinSulit

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2 m, dengan pin puncaknya C setinggi 2,5 m dan tali pengikat horizontal DE 1 m di atas tanah. Beban vertikal 12 kN bekerja pada kaki AC di K, 0,75 m (secara horizontal) dari A. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 12 kNAB = 2 mtinggi C = 2,5 mtinggi DE = 1 mjarak horizontal A ke K = 0,75 m

C = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 20 kN·m di x = 1,5 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mM₀ = 20 kN·m searah jarum jam, di 1,5 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 4 mw = 4 kN/m dari 1 sampai 3 m

M_max = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 120 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 60 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 14 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 120 mmh = 60 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 220 mm dan setebal 22 mm, tinggi total 320 mm, dan badan setebal 12 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 100 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σ_j di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 220 mmH = 320 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: a·b = −11

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan

a·b = 0·1 + 6·(−1) + 1·(−5) = 0 + (−6) + (−5) = −11

Jawaban

a·b = −11

Negatif: sudut di antara kedua vektor lebih dari 90°.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_z = 17

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−6)·(−6) − (−1)·1 = 37

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·3 − (−1)·(−6) = −9

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·1 − (−6)·3 = 17

Komponen yang diminta

(a × b)_z = 17

Jawaban

(a × b)_z = 17

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 21 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1,667 + 10·4,5

R_B = 19 kN

R_A = 40 − 19 = 21 kN

Jawaban

R_A = 21 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 49,17 kN

Komponen P

P_v = 55·sin 45° = 38,89 kN

P_h = 55·cos 45° = 38,89 kN

Reaksi

ΣM_A = 0: R_B·6 = 38,89·2 + 10·3,5 → R_B = 18,8 kN

A_y = 38,89 + 10 − 18,8 = 30,09 kN

A_x = P_h = 38,89 kN

Resultan di A

R_A = √(38,89² + 30,09²) = 49,17 kN

Jawaban

R_A = 49,17 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 16,04 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·7 → C_y = 48,13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 48,13 = 6,875 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48,13/0,9487 = −50,73 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−50,73)·0,3162 = 16,04 kN

Jawaban

F_AC = 16,04 kN (tarik)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 30 kN (C), BC: 20 kN (C), CD: 20 kN (C), DE: 10 kN (C), FG: 10 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 12,5 kN (C), HE: 12,5 kN (T), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (C), BG: 12,5 kN (C), DG: 12,5 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

7.Rangka & mesin

Jawaban: Q = 214,5 N

Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).

Keseimbangan pin B

2·F_link·sin 25° = 200

F_link = 236,6 N

Gaya penjepitan

Q = F_link·cos 25° = 200/(2·tan 25°) = 214,5 N

Jawaban

Q = 214,5 N

Rasio gaya Q/F = 1,072 tumbuh tanpa batas saat batang penghubung meluruskan diri.

8.Rangka & mesin

Jawaban: C = 5,408 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Reaksi tumpuan di B

B_y = 12·0,75/2 = 4,5 kN

Gaya tali pengikat

T = 4,5·1/1,5 = 3 kN

Gaya pin pada BC

C_x = 3 kN, C_y = −4,5 kN

C = √(3² + 4,5²) = 5,408 kN

Jawaban

C = 5,408 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 14 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/5 = 4 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −4 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat R_A dan kopel.

M_x = R_A·a + M₀ = −4·1,5 + 20 = 14 kN·m

Jawaban

M_x = 14 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 6 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·2·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 4/4 = 2 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 4·2 − 4·1²/2 = 6 kN·m

Jawaban

M_max = 6 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 20,02 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

dua kaki: A₂ = 2·14·46 = 1288 mm², y₂ = 14 + 46/2 = 37 mm

Titik berat

ȳ = (1680·7 + 1288·37)/2968 = 20,02 mm

Jawaban

ȳ = 20,02 mm

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_j = 58,4 MPa

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 320 − 2·22 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·320³ − 208·276³)/12

I_x = 2,363 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 160 − 22 = 138 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·138/2,363 × 10⁸ = 58,4 MPa

Jawaban

σ_j = 58,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics