Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 60, 45, 50, 20, 22, 49.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di atas 66,25?

μ = 60σ = 5x = 66,25

P =

3.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 5 orang dapat dipilih dari kelompok 12 orang? Urutan tidak penting.

n = 12k = 5

N =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €5 untuk dimainkan. Anda memenangkan €20 dengan peluang 0,3 dan €100 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €5€20: p = 0,3€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 16 di antaranya melebihi 398 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 398 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 30% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

7.Selang kepercayaanSedang

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 40 ponsel, rata-rata 111,5 h, simpangan baku diketahui 9 h. Model 2: 30 ponsel, rata-rata 110,5 h, simpangan baku diketahui 10 h. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 111,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 30x̄₂ = 110,5 hσ₂ = 10 h95%

batas bawah = h

8.Selang kepercayaanSulit

Studi pendahuluan menunjukkan bahwa sekitar 0,2 produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 95% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,03?

p ≈ 0,2E = 0,0395%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 100 komponen memiliki rata-rata panjang 102,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 16 mm. Lini 2: sampel 40 komponen memiliki rata-rata 107,9 mm, simpangan baku diketahui 9 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 100x̄₁ = 102,5 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 40x̄₂ = 107,9 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 100 pengukuran memiliki rata-rata 496,4. Simpangan baku populasi 12. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 496,4σ = 12n = 10095%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 10.

n = 6x = 10

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,27

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 246/6 = 41

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 19² + 4² + 9² + (−21)² + (−19)² + 8² = 1324

Simpangan baku

s = √(1324/5) = 16,27

Jawaban

s = 16,27

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1056

Standarkan

z = 1,25

Tabel normal baku

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Jawaban

P = 0,1056

3.Peluang

Jawaban: N = 792

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

Jawaban

N = 792

4.Peluang

Jawaban: E(G) = 2 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 15 (p = 0,3), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,69)

Nilai harapan

E(G) = 15·0,3 + 95·0,01 − 5·0,69 = 2 €

Jawaban

E(G) = 2 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Standarkan

z = (398 − 400)/2 = −1

Peluang

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 247,4 g

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,3

z dari tabel

z ≈ −0,52

Kembali ke satuan semula

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Jawaban

x = 247,4 g

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −3,537 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 111,5 − 110,5 = 1

Galat baku

SE = √(9²/40 + 10²/30) = 2,315

Margin galat

E = 1,96·2,315 = 4,537

Selang

1 ± 4,537 → [−3,537, 5,537]

Jawaban

batas bawah = −3,537 h

Selang memuat 0, jadi data tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 683

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,96²·0,2·0,8/0,03² = 683

Bulatkan ke atas

n = 683

Jawaban

n = 683

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −2,522

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(16²/100 + 9²/40) = √4,585 = 2,141

Statistik uji

z = (102,5 − 107,9)/2,141 = −2,522

Jawaban

z = −2,522

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 498,8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·12/√100 = 2,352

Batas selang

U = 496,4 + 2,352 = 498,8

Jawaban

U = 498,8

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,8895

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 330/5 = 66

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 304

Koefisien determinasi

r² = 52²/(10·304) = 0,8895

Jawaban

r² = 0,8895

Sekitar 88,95% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 68,89

Rata-rata

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 390/6 = 65

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Garis regresi

b = 136/70 = 1,943

a = 65 − 1,943·8 = 49,46

ŷ = 49,46 + 1,943·x

Prediksi

ŷ = 49,46 + 1,943·10 = 68,89

Jawaban

ŷ = 68,89

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1