Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
15202530354045

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 12, 41, 36, 47, 15, 30.

n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 12. Tentukan skor z z untuk nilai 118.

μ = 100σ = 12x = 118
z =
3.PeluangSedang
merah: 5biru: 3

Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 3 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

5 / 3
P =
4.PeluangSulit
n = 6, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456

Sebuah tes memiliki 6 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,3, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 5 jawaban benar?

n = 6p = 0,3k = 5
P =
5.Distribusi normalSedang
171,35181,5P = ?

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 171,35 dan 181,5 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x1 = 171,35x2 = 181,5
P =
6.Distribusi normalSulit
235240245250255260265gatas 20%

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 20% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
7.Selang kepercayaanSedang
n = 20, s = 1L = ?Ux̄ = 24E99%

Sebuah sampel berisi 20 unit memiliki rata-rata 24 dan simpangan baku s = 1. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 20x̄ = 24s = 199%t(19) = 2,861
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
μ₁ − μ₂, t(29) = 2,0450L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 19 petak, rata-rata hasil 19,5 kg, simpangan baku 6 kg. Kelompok petak 2: 12 petak, rata-rata 21,5 kg, simpangan baku 10 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 19x̄₁ = 19,5s₁ = 6n₂ = 12x̄₂ = 21,5s₂ = 1095%t(29) = 2,045
batas bawah = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−1,961,96z = ?

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 40 komponen memiliki rata-rata panjang 121,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 10 mm. Lini 2: sampel 40 komponen memiliki rata-rata 113,4 mm, simpangan baku diketahui 18 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 40x̄₁ = 121,5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 40x̄₂ = 113,4 mmσ₂ = 18 mm
z =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,9601,96

Sampel 100 pengukuran memiliki rata-rata 117,7. Simpangan baku populasi 8. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 117,7σ = 8n = 10095%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy154258362472577xy246070

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy128225324425521xy2425x = 3,5

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3,5, 19) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 19)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,11

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 181/6 = 30,17

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−18,17)² + 10,83² + 5,833² + 16,83² + (−15,17)² + (−0,1667)² = 994,8

Simpangan baku

s = √(994,8/5) = 14,11

Jawaban

s = 14,11
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 1,5

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (118 − 100)/12 = 1,5

Jawaban

z = 1,5
3.Peluang

Jawaban: P = 0,3571

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571

Jawaban

P = 0,3571
4.Peluang

Jawaban: P = 0,01021

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 5) = 6·0,35·0,71 = 6·0,00243·0,7 = 0,01021

Jawaban

P = 0,01021
5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,5204

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (171,35 − 178)/7 = −0,95
z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5

Luas di antara

P = Φ(0,5) − Φ(−0,95) = 0,6915 − 0,1711 = 0,5204

Jawaban

P = 0,5204
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 254,2 g

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,8

z dari tabel

z ≈ 0,84

Kembali ke satuan semula

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Jawaban

x = 254,2 g
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 23,36

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Margin galat

E = 2,861·1/√20 = 0,6397

Selang

24 ± 0,6397 → [23,36, 24,64]

Jawaban

batas bawah = 23,36
8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −7,854 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

sp² = (18·6² + 11·10²)/29 = 60,28
sp = 7,764

Margin galat

E = 2,045·7,764·√(1/19 + 1/12) = 5,854

Selang

−2 ± 5,854 → [−7,854, 3,854]

Jawaban

batas bawah = −7,854 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,488

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(10²/40 + 18²/40) = √10,6 = 3,256

Statistik uji

z = (121,5 − 113,4)/3,256 = 2,488

Jawaban

z = 2,488

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 119,3

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·8/√100 = 1,568

Batas selang

U = 117,7 + 1,568 = 119,3

Jawaban

U = 119,3
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9698

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 323/5 = 64,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60
Syy = Σ(y − ȳ)² = 371,2

Koefisien determinasi

r² = 60²/(10·371,2) = 0,9698

Jawaban

r² = 0,9698

Sekitar 96,98% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −4,9

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 123/5 = 24,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

Garis regresi

b = −14/10 = −1,4
a = 24,6 − (−1,4)·3 = 28,8
ŷ = 28,8 − 1,4·x

Nilai prediksi

ŷ = 28,8 + (−1,4)·3,5 = 23,9

Residu

e = 19 − 23,9 = −4,9

Jawaban

e = −4,9

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1