Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 11, 28, 20, 22, 53.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 88?
μ = 100σ = 15x = 88
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,15, 0,05, 0,25, 0,25
Var(X) =
4.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €3 untuk dimainkan. Anda memenangkan €12 dengan peluang 0,3 dan €30 dengan peluang 0,02; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €3€12: p = 0,3€30: p = 0,02
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 4 di antaranya di bawah 100,5 kg. Bulatkan z ke dua desimal.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4< 100.5 kg
P =
6.Distribusi normalSulit
skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 30% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 100 poinσ = 15 poin30%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 15 unit memiliki rata-rata 112 dan simpangan baku s = 18,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
n = 15x̄ = 112s = 18,595%t(14) = 2,145
E =
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 31. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 5?
σ = 31E = 590%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 203,9 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 203,9s = 8n = 36
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 98 dari 150 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 140 dari 200 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 140n₂ = 200
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (2,5, 19) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 19)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 15,87
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 134/5 = 26,8
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−15,8)² + 1,2² + (−6,8)² + (−4,8)² + 26,2² = 1007
Simpangan baku
s = √(1007/4) = 15,87
Jawaban
s = 15,87
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,7881
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −0,8
Tabel normal baku
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Jawaban
P = 0,7881
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 2,6
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,05 + 4·0,25 + 5·0,25 = 3
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,05 + 16·0,25 + 25·0,25 = 11,6
Variansi
Var(X) = 11,6 − 3² = 2,6
Jawaban
Var(X) = 2,6
4.Peluang
Jawaban: E(G) = 1,2 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 9 (p = 0,3), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,68)
Nilai harapan
E(G) = 9·0,3 + 27·0,02 − 3·0,68 = 1,2 €
Jawaban
E(G) = 1,2 €
Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,6915
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi total
μT = 100 kg, σT = 0,5·√4 = 1 kg
Standarkan
z = (100,5 − 100)/1 = 0,5
Peluang
P = Φ(0,5) = 0,6915
Jawaban
P = 0,6915
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 107,8 poin
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,7
z dari tabel
z ≈ 0,52
Kembali ke satuan semula
x = 100 + 0,52·15 = 107,8 poin
Jawaban
x = 107,8 poin
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 10,25
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Margin galat
E = 2,145·18,5/√15 = 10,25
Jawaban
E = 10,25
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 105
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,645·31/5)² = 104
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 105
Jawaban
n = 105
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 2,925
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Statistik uji
t = (203,9 − 200)/1,333 = 2,925
Jawaban
t = 2,925
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −0,9262
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 98/150 = 0,6533
p̂₂ = 140/200 = 0,7
p̂ = 238/350 = 0,68
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,68·0,32·(1/150 + 1/200)) = 0,05039
Statistik uji
z = (0,6533 − 0,7)/0,05039 = −0,9262
Jawaban
z = −0,9262
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,9245
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 123/5 = 24,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Syy = Σ(y − ȳ)² = 21,2
Koefisien determinasi
r² = −14²/(10·21,2) = 0,9245
Jawaban
r² = 0,9245
Sekitar 92,45% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = −2,176
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 119/6 = 19,83
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23,5
Garis regresi
b = −23,5/17,5 = −1,343
a = 19,83 − (−1,343)·3,5 = 24,53
ŷ = 24,53 − 1,343·x
Nilai prediksi
ŷ = 24,53 + (−1,343)·2,5 = 21,18
Residu
e = 19 − 21,18 = −2,176
Jawaban
e = −2,176
Titik terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1