Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
2025303540455055

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 42, 56, 43, 39, 17.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di bawah 48?

μ = 60σ = 10x = 48
P =
3.PeluangSedang
xp(x)00,320,340,0560,35μ = 2,9

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35
Var(X) =
4.PeluangSulit
xp(x)00,3510,320,35μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 10. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 2X + 10
σY =
5.Distribusi normalSedang
750 g740,2 gX + Y?

X normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 4 g; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 500 g dan simpangan baku 9 g. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 740,2 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 740,2 g
P =
6.Distribusi normalSulit
μ = 100x = ?75%

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 75% data (persentil ke-75).

μ = 100σ = 15P = 75%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
n = 21, s = 3L = ?Ux̄ = 117E95%

Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 117 dan simpangan baku s = 3. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 21x̄ = 117s = 395%t(20) = 2,086
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 37, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

Simpangan baku populasi adalah 37. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2?

σ = 37E = 290%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,0302,03

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 77,8 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,8s = 8n = 36
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −2,57602,576

Sampel 100 pengukuran memiliki rata-rata 98,2. Simpangan baku populasi 10. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 98,2σ = 10n = 10099%
L =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy364463571674782887xy4687080

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 33Σy = 441Σx² = 199Σy² = 32875Σxy = 2513
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy2404456598641068xy51040506070x = 7

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (7, 63) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(7, 63)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,12

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 197/5 = 39,4

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 2,6² + 16,6² + 3,6² + (−0,4)² + (−22,4)² = 797,2

Simpangan baku

s = √(797,2/4) = 14,12

Jawaban

s = 14,12
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1151

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = −1,2

Tabel normal baku

Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151

Jawaban

P = 0,1151
3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 6,19

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,05 + 6·0,35 = 2,9

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,05 + 36·0,35 = 14,6

Variansi

Var(X) = 14,6 − 2,9² = 6,19

Jawaban

Var(X) = 6,19
4.Peluang

Jawaban: σY = 1,673

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367

Perubahan linear

σY = |2|·0,8367 = 1,673

Jawaban

σY = 1,673

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·1 + 10 = 12.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standarkan

z = (740,2 − 750)/9,849 = −1

Ekor atas

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 110,1 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Kembali ke x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 poin

Jawaban

x = 110,12 poin
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 115,6

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Margin galat

E = 2,086·3/√21 = 1,366

Selang

117 ± 1,366 → [115,6, 118,4]

Jawaban

batas bawah = 115,6
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 927

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·37/2)² = 926,1

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 927

Jawaban

n = 927
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,1

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Statistik uji

t = (77,8 − 75)/1,333 = 2,1

Jawaban

t = 2,1
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 95,62

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 2,576·10/√100 = 2,576

Batas selang

L = 98,2 − 2,576 = 95,62

Jawaban

L = 95,62
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9737

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 2513 − 33·441/6 = 87,5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 32875 − 441²/6 = 461,5

Koefisien korelasi

r = 87,5/√(17,5·461,5) = 0,9737

Jawaban

r = 0,9737
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 4,05

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 276/5 = 55,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

Garis regresi

b = 150/40 = 3,75
a = 55,2 − 3,75·6 = 32,7
ŷ = 32,7 + 3,75·x

Nilai prediksi

ŷ = 32,7 + 3,75·7 = 58,95

Residu

e = 63 − 58,95 = 4,05

Jawaban

e = 4,05

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1