Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 42, 13, 24, 54, 38, 36.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 55?
μ = 70σ = 15x = 55
P =
3.PeluangSedang
Sebuah dadu adil dilempar 8 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?
n = 8
P =
4.PeluangSulit
6 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,5. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 6p = 0,5
P =
5.Distribusi normalSedang
X normal dengan rata-rata 12 min dan simpangan baku 1,5 min; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 20 min dan simpangan baku 2 min. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 37 min. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 37 min
P =
6.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Tekanan darah 6 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata −3,1 dan simpangan baku 6,6. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.
n = 6d̄ = −3,1sd = 6,699%t(5) = 4,032
batas bawah = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
Studi pendahuluan menunjukkan bahwa sekitar 0,3 produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 99% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,04?
p ≈ 0,3E = 0,0499%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 75,8 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 75,8s = 4n = 36
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 200,4. Simpangan baku populasi 5. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
x̄ = 200,4σ = 5n = 3690%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (4, 67) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(4, 67)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 14,31
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 207/6 = 34,5
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 7,5² + (−21,5)² + (−10,5)² + 19,5² + 3,5² + 1,5² = 1024
Simpangan baku
s = √(1024/5) = 14,31
Jawaban
s = 14,31
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,8413
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −1
Tabel normal baku
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Jawaban
P = 0,8413
3.Peluang
Jawaban: P = 0,7674
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Jawaban
P = 0,7674
4.Peluang
Jawaban: P = 0,1094
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,56 = 0,01563
P(X = 1) = 6·0,5·0,55 = 0,09375
Jumlahkan
P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094
Jawaban
P = 0,1094
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,02275
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi jumlah
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standarkan
z = (37 − 32)/2,5 = 2
Ekor atas
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Jawaban
P = 0,02275
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8849
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Standarkan
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Peluang
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Jawaban
P = 0,8849
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = −13,96 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai kritis
df = 5, t = 4,032
Margin galat
E = 4,032·6,6/√6 = 10,86
Selang
−3,1 ± 10,86 → [−13,96, 7,764]
Jawaban
batas bawah = −13,96 mmHg
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 871
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 2,576²·0,3·0,7/0,04² = 870,9
Bulatkan ke atas
n = 871
Jawaban
n = 871
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 1,2
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Statistik uji
t = (75,8 − 75)/0,6667 = 1,2
Jawaban
t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: U = 201,8
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 1,645·5/√36 = 1,371
Batas selang
U = 200,4 + 1,371 = 201,8
Jawaban
U = 201,8
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,7696
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 233/5 = 46,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42
Syy = Σ(y − ȳ)² = 229,2
Koefisien determinasi
r² = 42²/(10·229,2) = 0,7696
Jawaban
r² = 0,7696
Sekitar 76,96% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 4,9
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 471/6 = 78,5
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 287
Garis regresi
b = 287/70 = 4,1
a = 78,5 − 4,1·8 = 45,7
ŷ = 45,7 + 4,1·x
Nilai prediksi
ŷ = 45,7 + 4,1·4 = 62,1
Residu
e = 67 − 62,1 = 4,9
Jawaban
e = 4,9
Titik terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1