Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
1520253035404550

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 43, 49, 18, 14, 51, 14, 52.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di bawah 52,5?

μ = 60σ = 15x = 52,5
P =
3.PeluangSedang
xp(x)00,3510,3520,3μ = 0,95

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
4.PeluangSulit
n = 9, p = 0,6: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

9 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,6. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 9p = 0,6
P =
5.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di antara −z dan z = 0,7620

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,7620. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,7620
z =
6.Distribusi normalSulit
0,03 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
x̄E₁ = 9,490%, n = 100x̄E₂ = ?95%, n = 100

Selang kepercayaan 90% untuk rata-rata, berdasarkan 100 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 9,4. Berapa margin galat E₂ selang 95% dari data yang sama?

90%n₁ = 100E₁ = 9,495%
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 28, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

Simpangan baku populasi adalah 28. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?

σ = 28E = 1,599%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,9901,99

Sampel 81 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 103,2 dan simpangan baku sampel 10. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,2s = 10n = 81
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −2,57602,576

Sampel 49 pengukuran memiliki rata-rata 121. Simpangan baku populasi 4. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 121σ = 4n = 4999%
L =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy144248352449554656xy246455055

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy2641061181510181219xy5105101520ŷ = 11

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 11?

n = 6ŷ = 11
x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 18,14

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 241/7 = 34,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 8,571² + 14,57² + (−16,43)² + (−20,43)² + 16,57² + (−20,43)² + 17,57² = 1974

Simpangan baku

s = √(1974/6) = 18,14

Jawaban

s = 18,14
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3085

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = −0,5

Tabel normal baku

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085

Jawaban

P = 0,3085
3.Peluang

Jawaban: σ = 0,8047

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Variansi

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047

Jawaban

σ = 0,8047
4.Peluang

Jawaban: P = 0,003801

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,49 = 0,0002621
P(X = 1) = 9·0,6·0,48 = 0,003539

Jumlahkan

P = 0,0002621 + 0,003539 = 0,003801

Jawaban

P = 0,003801
5.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,18

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,7620)/2 = 0,8810

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,8810 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,18

Jawaban

z = 1,18
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9207

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm

Standarkan

z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41

Peluang

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Jawaban

P = 0,9207
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E₂ = 11,2

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rasio margin

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/100) = 1,191

Margin baru

E₂ = 9,4·1,191 = 11,2

Jawaban

E₂ = 11,2
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 2313

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·28/1,5)² = 2312

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 2313

Jawaban

n = 2313
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,88

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Statistik uji

t = (103,2 − 100)/1,111 = 2,88

Jawaban

t = 2,88
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 119,5

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 2,576·4/√49 = 1,472

Batas selang

L = 121 − 1,472 = 119,5

Jawaban

L = 119,5
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9173

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 303/6 = 50,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 37,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 95,5

Koefisien korelasi

r = 37,5/√(17,5·95,5) = 0,9173

Jawaban

r = 0,9173
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 5,369

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 79/6 = 13,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93

Garis regresi

b = 93/70 = 1,329
a = 13,17 − 1,329·7 = 3,867
ŷ = 3,867 + 1,329·x

Selesaikan untuk x

x = (11 − 3,867)/1,329 = 5,369

Jawaban

x = 5,369

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1