Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 39, 23, 35, 44, 20, 52.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 20. Tentukan skor z z untuk nilai 40.

μ = 70σ = 20x = 40

z =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 7 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

4 / 7

P =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €5 untuk dimainkan. Anda memenangkan €10 dengan peluang 0,15 dan €100 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €5€10: p = 0,15€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 85 dan 115,75 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 115,75

P =

6.Distribusi normalSulit

Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 9 unit memiliki rata-rata 76,5 dan simpangan baku s = 1,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 9x̄ = 76,5s = 1,590%t(8) = 1,86

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 7 petak, rata-rata hasil 60 kg, simpangan baku 4 kg. Kelompok petak 2: 14 petak, rata-rata 53 kg, simpangan baku 4 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 60s₁ = 4n₂ = 14x̄₂ = 53s₂ = 495%t(19) = 2,093

batas bawah = kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 64 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 502,1 dan simpangan baku sampel 10. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,1s = 10n = 64

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 1,5 satuan dengan kuasa 90%. Simpangan bakunya 8. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,01kuasa = 90%δ = 1,5σ = 8z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 34?

n = 5ŷ = 34

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,28

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 213/6 = 35,5

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 3,5² + (−12,5)² + (−0,5)² + 8,5² + (−15,5)² + 16,5² = 753,5

Simpangan baku

s = √(753,5/5) = 12,28

Jawaban

s = 12,28

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1,5

Standarkan

z = (40 − 70)/20 = −1,5

Jawaban

z = −1,5

3.Peluang

Jawaban: P = 0,1091

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091

Jawaban

P = 0,1091

4.Peluang

Jawaban: E(G) = −2,5 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 5 (p = 0,15), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,84)

Nilai harapan

E(G) = 5·0,15 + 95·0,01 − 5·0,84 = −2,5 €

Jawaban

E(G) = −2,5 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,6945

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05

Luas di antara

P = Φ(1,05) − Φ(−1) = 0,8531 − 0,1587 = 0,6945

Jawaban

P = 0,6945

6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standarkan

z = (0 − 10)/10 = −1

Peluang

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 77,43

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margin galat

E = 1,86·1,5/√9 = 0,93

Selang

76,5 ± 0,93 → [75,57, 77,43]

Jawaban

batas atas = 77,43

8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 3,125 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

s_p² = (6·4² + 13·4²)/19 = 16

s_p = 4

Margin galat

E = 2,093·4·√(1/7 + 1/14) = 3,875

Selang

7 ± 3,875 → [3,125, 10,88]

Jawaban

batas bawah = 3,125 kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,68

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Statistik uji

t = (502,1 − 500)/1,25 = 1,68

Jawaban

t = 1,68

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 371

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2,326 + 1,282)·8/1,5)² = 370,3

Bulatkan ke atas

n = 371

Jawaban

n = 371

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9486

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 68/5 = 13,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 177,2

Koefisien determinasi

r² = 82²/(40·177,2) = 0,9486

Jawaban

r² = 0,9486

Sekitar 94,86% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 2,559

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 183/5 = 36,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59

Garis regresi

b = 59/10 = 5,9

a = 36,6 − 5,9·3 = 18,9

ŷ = 18,9 + 5,9·x

Selesaikan untuk x

x = (34 − 18,9)/5,9 = 2,559

Jawaban

x = 2,559

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1