Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 24, 54, 55, 39, 43.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 12. Tentukan skor z z untuk nilai 194.

μ = 170σ = 12x = 194

z =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 8 bola merah dan 9 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

8 / 9

P =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 1. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,1, 0,2Y = 5X + 1

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,8051. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,8051

z =

6.Distribusi normalSulit

tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 5% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 178 cmσ = 7 cm5%

x = cm

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 16 unit memiliki rata-rata 114,5 dan simpangan baku s = 10. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 16x̄ = 114,5s = 1090%t(15) = 1,753

E =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 34. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5?

σ = 34E = 2,599%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 121 dan simpangan baku sampel 15. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121s = 15n = 100

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 49 pengukuran memiliki rata-rata 52,4. Simpangan baku populasi 12. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 52,4σ = 12n = 4999%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (6,5, 58) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(6,5, 58)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,67

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 215/5 = 43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−19)² + 11² + 12² + (−4)² + 0² = 642

Simpangan baku

s = √(642/4) = 12,67

Jawaban

s = 12,67

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 2

Standarkan

z = (194 − 170)/12 = 2

Jawaban

z = 2

3.Peluang

Jawaban: P = 0,2059

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059

Jawaban

P = 0,2059

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 6,325

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 3, Var(X) = 1,6, σ_X = 1,265

Perubahan linear

σ_Y = |5|·1,265 = 6,325

Jawaban

σ_Y = 6,325

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 5·3 + 1 = 16.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = −0,86

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,8051 = 0,1949

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,1949 di dalam tabel dan baca z.

z = −0,86

Jawaban

z = −0,86

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 189,5 cm

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,95

z dari tabel

z ≈ 1,64

Kembali ke satuan semula

x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm

Jawaban

x = 189,5 cm

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 4,382

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Margin galat

E = 1,753·10/√16 = 4,382

Jawaban

E = 4,382

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1228

Selesaikan untuk n

n = (2,576·34/2,5)² = 1227

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 1228

Jawaban

n = 1228

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 0,6667

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Statistik uji

t = (121 − 120)/1,5 = 0,6667

Jawaban

t = 0,6667

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 56,82

Margin galat

E = 2,576·12/√49 = 4,416

Batas selang

U = 52,4 + 4,416 = 56,82

Jawaban

U = 56,82

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9231

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 288/6 = 48

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 124

Koefisien korelasi

r = 43/√(17,5·124) = 0,9231

Jawaban

r = 0,9231

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 4,895

Rata-rata

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 272/6 = 45,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68

Garis regresi

b = 68/17,5 = 3,886

a = 45,33 − 3,886·4,5 = 27,85

ŷ = 27,85 + 3,886·x

Nilai prediksi

ŷ = 27,85 + 3,886·6,5 = 53,1

Residu

e = 58 − 53,1 = 4,895

Jawaban

e = 4,895

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1