Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 38, 53, 11, 13, 20.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 60. Tentukan skor z z untuk nilai 440.
μ = 500σ = 60x = 440
z =
3.PeluangSedang
Sebuah dadu adil dilempar 8 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?
n = 8
P =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X + 5. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 0,5X + 5
σY =
5.Distribusi normalSedang
Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 82,75 dan 115,75 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 100σ = 15x1 = 82,75x2 = 115,75
P =
6.Distribusi normalSulit
Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 99% data (persentil ke-99).
μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
7.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 50 ponsel, rata-rata 79 h, simpangan baku diketahui 18 h. Model 2: 30 ponsel, rata-rata 87,5 h, simpangan baku diketahui 11 h. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 79 hσ₁ = 18 hn₂ = 30x̄₂ = 87,5 hσ₂ = 11 h90%
batas bawah = h
8.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 20 petak, rata-rata hasil 95 kg, simpangan baku 10 kg. Kelompok petak 2: 6 petak, rata-rata 96 kg, simpangan baku 10 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 20x̄₁ = 95s₁ = 10n₂ = 6x̄₂ = 96s₂ = 1095%t(24) = 2,064
batas atas = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 14 siswa, rata-rata nilai 57,5, simpangan baku 3. Kelompok 2: 17 siswa, rata-rata nilai 63,7, simpangan baku 6,5. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).
n₁ = 14x̄₁ = 57,5s₁ = 3n₂ = 17x̄₂ = 63,7s₂ = 6,5
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 30 dari 120 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 30 dari 300 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 30n₂ = 300
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 21?
n = 5ŷ = 21
x =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 18,01
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 135/5 = 27
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 11² + 26² + (−16)² + (−14)² + (−7)² = 1298
Simpangan baku
s = √(1298/4) = 18,01
Jawaban
s = 18,01
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −1
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (440 − 500)/60 = −1
Jawaban
z = −1
3.Peluang
Jawaban: P = 0,7674
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Jawaban
P = 0,7674
4.Peluang
Jawaban: σY = 0,4023
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Perubahan linear
σY = |0,5|·0,8047 = 0,4023
Jawaban
σY = 0,4023
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·1,05 + 5 = 5,525.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7281
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15
z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05
Luas di antara
P = Φ(1,05) − Φ(−1,15) = 0,8531 − 0,1251 = 0,7281
Jawaban
P = 0,7281
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 261,6 g
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
z untuk persentil
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Kembali ke x
x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g
Jawaban
x = 261,63 g
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = −13,83 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 79 − 87,5 = −8,5
Galat baku
SE = √(18²/50 + 11²/30) = 3,242
Margin galat
E = 1,645·3,242 = 5,334
Selang
−8,5 ± 5,334 → [−13,83, −3,166]
Jawaban
batas bawah = −13,83 h
Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.
8.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 8,607 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (19·10² + 5·10²)/24 = 100
sp = 10
Margin galat
E = 2,064·10·√(1/20 + 1/6) = 9,607
Selang
−1 ± 9,607 → [−10,61, 8,607]
Jawaban
batas atas = 8,607 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −3,285
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians gabungan
sp² = (13·3² + 16·6,5²)/29 = 27,34
sp = 5,229
Galat baku
SE = 5,229·√(1/14 + 1/17) = 1,887
Statistik uji
t = (57,5 − 63,7)/1,887 = −3,285
Jawaban
t = −3,285
Dengan df = 29, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,045; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = 3,969
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 30/120 = 0,25
p̂₂ = 30/300 = 0,1
p̂ = 60/420 = 0,1429
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,1429·0,8571·(1/120 + 1/300)) = 0,0378
Statistik uji
z = (0,25 − 0,1)/0,0378 = 3,969
Jawaban
z = 3,969
|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9407
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 422/6 = 70,33
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1395
Koefisien korelasi
r = 294/√(70·1395) = 0,9407
Jawaban
r = 0,9407
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 6,889
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 93/5 = 18,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108
Garis regresi
b = 108/40 = 2,7
a = 18,6 − 2,7·6 = 2,4
ŷ = 2,4 + 2,7·x
Selesaikan untuk x
x = (21 − 2,4)/2,7 = 6,889
Jawaban
x = 6,889
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1