Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 34, 50, 32, 47, 59, 57.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 42?
μ = 60σ = 15x = 42
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,2, 0,25, 0,35
σ =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 10. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,25, 0,3, 0,35Y = −2X + 10
σY =
5.Distribusi normalSedang
Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,3759. Cari z sampai dua desimal.
A = 0,3759
z =
6.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,04 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata, berdasarkan 25 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 1,6. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 225 pengamatan?
95%n₁ = 25E₁ = 1,6n₂ = 225
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 99% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,04?
p = 0,5E = 0,0499%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 500; simpangan baku populasinya diketahui 36. Sampel acak 144 pengamatan memiliki rata-rata 493,88. Uji H₀: μ = 500 melawan H₁: μ < 500. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 500σ = 36n = 144x̄ = 493,88H₁: μ < μ₀
p =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 46,8. Simpangan baku populasi 10. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.
x̄ = 46,8σ = 10n = 3699%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 6Σx = 42Σy = 155Σx² = 364Σy² = 4927Σxy = 1338
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 11,36
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 279/6 = 46,5
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−12,5)² + 3,5² + (−14,5)² + 0,5² + 12,5² + 10,5² = 645,5
Simpangan baku
s = √(645,5/5) = 11,36
Jawaban
s = 11,36
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,8849
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −1,2
Tabel normal baku
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Jawaban
P = 0,8849
3.Peluang
Jawaban: σ = 11,35
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 10·0,2 + 20·0,2 + 30·0,25 + 40·0,35 = 27,5
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 100·0,2 + 400·0,2 + 900·0,25 + 1600·0,35 = 885
Variansi
Var(X) = 885 − 27,5² = 128,8
σ = √128,8 = 11,35
Jawaban
σ = 11,35
4.Peluang
Jawaban: σY = 19,9
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 29, Var(X) = 99, σX = 9,95
Perubahan linear
σY = |−2|·9,95 = 19,9
Jawaban
σY = 19,9
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·29 + 10 = −48.
5.Distribusi normal
Jawaban: z = 0,49
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0,3759)/2 = 0,6879
Baca tabel z secara terbalik
Cari 0,6879 di dalam tabel dan baca z.
z = 0,49
Jawaban
z = 0,49
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,9452
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Standarkan
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Peluang
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Jawaban
P = 0,9452
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 0,5333
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(25/225) = 0,3333
Margin baru
E₂ = 1,6·0,3333 = 0,5333
Jawaban
E₂ = 0,5333
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 1037
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037
Bulatkan ke atas
n = 1037
Jawaban
n = 1037
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,02068
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (493,88 − 500)/3 = −2,04
Luas ekor
Φ(2,04) = 0,9793
1 − Φ(2,04) = 0,0207
nilai p
p = 0,02068
Jawaban
p = 0,02068
p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: U = 51,09
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 2,576·10/√36 = 4,293
Batas selang
U = 46,8 + 4,293 = 51,09
Jawaban
U = 51,09
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9954
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 1338 − 42·155/6 = 253
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 4927 − 155²/6 = 922,8
Koefisien korelasi
r = 253/√(70·922,8) = 0,9954
Jawaban
r = 0,9954
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 13,22
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 175/6 = 29,17
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279
Garis regresi
b = 279/70 = 3,986
a = 29,17 − 3,986·7 = 1,267
ŷ = 1,267 + 3,986·x
Prediksi
ŷ = 1,267 + 3,986·3 = 13,22
Jawaban
ŷ = 13,22
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1