Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 19, 27, 36, 37, 16, 15, 23.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 84.
μ = 100σ = 8x = 84
z =
3.PeluangSedang
Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 3 orang dapat dipilih dari kelompok 15 orang? Urutan tidak penting.
n = 15k = 3
N =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X + 20. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,3, 0,05Y = 0,5X + 20
σY =
5.Distribusi normalSedang
Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 242,25 dan 255 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 250σ = 5x1 = 242,25x2 = 255
P =
6.Distribusi normalSulit
tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 85% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
7.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 30 ponsel, rata-rata 146,5 h, simpangan baku diketahui 18 h. Model 2: 40 ponsel, rata-rata 139 h, simpangan baku diketahui 10 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 146,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 40x̄₂ = 139 hσ₂ = 10 h95%
E = h
8.Selang kepercayaanSulit
Studi pendahuluan menunjukkan bahwa sekitar 0,1 produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 95% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,05?
p ≈ 0,1E = 0,0595%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 120; simpangan baku populasinya diketahui 3. Sampel acak 36 pengamatan memiliki rata-rata 119,17. Uji H₀: μ = 120 melawan H₁: μ < 120. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 120σ = 3n = 36x̄ = 119,17H₁: μ < μ₀
p =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 2 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 22. Tentukan ukuran sampel minimum n.
α = 0,05kuasa = 80%δ = 2σ = 22zα = 1,645zβ = 0,842
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 6Σx = 129Σy = 298Σx² = 2931Σy² = 16426Σxy = 6905
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (4, 59) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 5(4, 59)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 9,032
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 173/7 = 24,71
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−5,714)² + 2,286² + 11,29² + 12,29² + (−8,714)² + (−9,714)² + (−1,714)² = 489,4
Simpangan baku
s = √(489,4/6) = 9,032
Jawaban
s = 9,032
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −2
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (84 − 100)/8 = −2
Jawaban
z = −2
3.Peluang
Jawaban: N = 455
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasi
C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455
Jawaban
N = 455
4.Peluang
Jawaban: σY = 0,554
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 1,85, Var(X) = 1,228, σX = 1,108
Perubahan linear
σY = |0,5|·1,108 = 0,554
Jawaban
σY = 0,554
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·1,85 + 20 = 20,93.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7808
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55
z₂ = (255 − 250)/5 = 1
Luas di antara
P = Φ(1) − Φ(−1,55) = 0,8413 − 0,06057 = 0,7808
Jawaban
P = 0,7808
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 170,7 cm
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,15
z dari tabel
z ≈ −1,04
Kembali ke satuan semula
x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm
Jawaban
x = 170,7 cm
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 7,148 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 146,5 − 139 = 7,5
Galat baku
SE = √(18²/30 + 10²/40) = 3,647
Margin galat
E = 1,96·3,647 = 7,148
Jawaban
E = 7,148 h
Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 139
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 1,96²·0,1·0,9/0,05² = 138,3
Bulatkan ke atas
n = 139
Jawaban
n = 139
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,04846
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5
z = (119,17 − 120)/0,5 = −1,66
Luas ekor
Φ(1,66) = 0,9515
1 − Φ(1,66) = 0,0485
nilai p
p = 0,04846
Jawaban
p = 0,04846
p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 749
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((1,645 + 0,842)·22/2)² = 748,4
Bulatkan ke atas
n = 749
Jawaban
n = 749
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9843
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 6905 − 129·298/6 = 498
Sxx = 2931 − 129²/6 = 157,5
Syy = 16426 − 298²/6 = 1625
Koefisien korelasi
r = 498/√(157,5·1625) = 0,9843
Jawaban
r = 0,9843
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 5,4
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 278/5 = 55,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80
Garis regresi
b = 80/40 = 2
a = 55,6 − 2·5 = 45,6
ŷ = 45,6 + 2·x
Nilai prediksi
ŷ = 45,6 + 2·4 = 53,6
Residu
e = 59 − 53,6 = 5,4
Jawaban
e = 5,4
Titik terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1