Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
444648505254

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 44, 51, 43, 53, 55.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di atas 52?

μ = 50σ = 5x = 52
P =
3.PeluangSedang
merah: 3biru: 5

Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

3 / 5
P =
4.PeluangSulit
€p(x)−30,8990,1270,01

Sebuah permainan berbiaya €3 untuk dimainkan. Anda memenangkan €12 dengan peluang 0,1 dan €30 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €3€12: p = 0,1€30: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di antara −z dan z = 0,4039

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,4039. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,4039
z =
6.Distribusi normalSulit
μ = 500x = ?99%

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 99% data (persentil ke-99).

μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
7.Selang kepercayaanSedang
n = 10, s = 14,5LUx̄ = 97,5E = ?90%

Sebuah sampel berisi 10 unit memiliki rata-rata 97,5 dan simpangan baku s = 14,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 10x̄ = 97,5s = 14,590%t(9) = 1,833
E =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 16, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 595%

Simpangan baku populasi adalah 16. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 5?

σ = 16E = 595%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−1,961,96z = ?

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 100 komponen memiliki rata-rata panjang 95,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 9 mm. Lini 2: sampel 40 komponen memiliki rata-rata 97,1 mm, simpangan baku diketahui 13 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 100x̄₁ = 95,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 40x̄₂ = 97,1 mmσ₂ = 13 mm
z =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
μ₀x̄c

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 200 melawan H₁: μ < 200 dilakukan pada α = 0.05 dengan sampel berukuran 36; simpangan bakunya diketahui 9. Kenyataannya, rata-ratanya 195.35. Tentukan probabilitas galat tipe II β dalam persen.

μ₀ = 200μ = 195,35σ = 9n = 36α = 0,05
β = %
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy127225324419518615xy246152025

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy124222320417516613xy246152025x = 2,5

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (2,5, 23) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 23)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 5,404

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 246/5 = 49,2

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−5,2)² + 1,8² + (−6,2)² + 3,8² + 5,8² = 116,8

Simpangan baku

s = √(116,8/4) = 5,404

Jawaban

s = 5,404
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3446

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 0,4

Tabel normal baku

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Jawaban

P = 0,3446
3.Peluang

Jawaban: P = 0,1071

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0,1071

Jawaban

P = 0,1071
4.Peluang

Jawaban: E(G) = −1,5 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 9 (p = 0,1), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,89)

Nilai harapan

E(G) = 9·0,1 + 27·0,01 − 3·0,89 = −1,5 €

Jawaban

E(G) = −1,5 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,53

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,4039)/2 = 0,7019

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,7019 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,53

Jawaban

z = 0,53
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 593,1 h

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Kembali ke x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Jawaban

x = 593,05 h
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 8,405

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Margin galat

E = 1,833·14,5/√10 = 8,405

Jawaban

E = 8,405
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 40

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,96·16/5)² = 39,34

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 40

Jawaban

n = 40
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −0,7131

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(9²/100 + 13²/40) = √5,035 = 2,244

Statistik uji

z = (95,5 − 97,1)/2,244 = −0,7131

Jawaban

z = −0,7131

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: β = 7,283 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 9/√36 = 1,5
x̄c = 200 − 1,645·1,5 = 197,5

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (197,5 − 195,35)/1,5 = 1,455

Galat tipe II

kuasa = P(Z < 1.455) = 92.72%
β = 100% − 92,72% = 7,283%

Jawaban

β = 7,283%
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9664

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 128/6 = 21,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 109,3

Koefisien determinasi

r² = −43²/(17,5·109,3) = 0,9664

Jawaban

r² = 0,9664

Sekitar 96,64% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 2,162

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 112/6 = 18,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38

Garis regresi

b = −38/17,5 = −2,171
a = 18,67 − (−2,171)·3,5 = 26,27
ŷ = 26,27 − 2,171·x

Nilai prediksi

ŷ = 26,27 + (−2,171)·2,5 = 20,84

Residu

e = 23 − 20,84 = 2,162

Jawaban

e = 2,162

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1