Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 29, 48, 44, 27, 13, 39, 19.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 15. Tentukan skor z z untuk nilai 200.

μ = 170σ = 15x = 200

z =

3.PeluangSedang

Sebuah dadu adil dilempar 8 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 8

P =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X − 3. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,15, 0,35, 0,2Y = 2X − 3

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,3015. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,3015

z =

6.Distribusi normalSulit

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 30% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 16 unit memiliki rata-rata 117 dan simpangan baku s = 15,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 16x̄ = 117s = 15,599%t(15) = 2,947

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 21 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 4,7 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 20, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 9,591 dan 2,5% berada di atas 34,17.

n = 21s = 4,7 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 81 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 498,4 dan simpangan baku sampel 10. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,4s = 10n = 81

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 25 pengukuran memiliki rata-rata 202,6. Simpangan baku populasi 5. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 202,6σ = 5n = 2590%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 153Σy = 768Σx² = 4059Σy² = 103150Σxy = 20451

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,97

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 219/7 = 31,29

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−2,286)² + 16,71² + 12,71² + (−4,286)² + (−18,29)² + 7,714² + (−12,29)² = 1009

Simpangan baku

s = √(1009/6) = 12,97

Jawaban

s = 12,97

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 2

Standarkan

z = (200 − 170)/15 = 2

Jawaban

z = 2

3.Peluang

Jawaban: P = 0,7674

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Jawaban

P = 0,7674

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 22,34

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 24,5, Var(X) = 124,8, σ_X = 11,17

Perubahan linear

σ_Y = |2|·11,17 = 22,34

Jawaban

σ_Y = 22,34

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·24,5 − 3 = 46.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,52

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,3015 = 0,6985

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,6985 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,52

Jawaban

z = 0,52

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 247,4 g

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,3

z dari tabel

z ≈ −0,52

Kembali ke satuan semula

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Jawaban

x = 247,4 g

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 105,6

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Margin galat

E = 2,947·15,5/√16 = 11,42

Selang

117 ± 11,42 → [105,6, 128,4]

Jawaban

batas bawah = 105,6

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 6,787 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 20·4,7² = 441,8

Batas untuk σ²

441,8/34,17 = 12,93

441,8/9,591 = 46,06

Batas untuk σ

σ = √46,06 = 6,787 µm

Jawaban

σ = 6,787 µm

Selang 95% untuk σ: [3,596, 6,787] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,44

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Statistik uji

t = (498,4 − 500)/1,111 = −1,44

Jawaban

t = −1,44

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 204,2

Margin galat

E = 1,645·5/√25 = 1,645

Batas selang

U = 202,6 + 1,645 = 204,2

Jawaban

U = 204,2

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9924

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 20451 − 153·768/6 = 867

S_xx = 4059 − 153²/6 = 157,5

S_yy = 103150 − 768²/6 = 4846

Koefisien korelasi

r = 867/√(157,5·4846) = 0,9924

Jawaban

r = 0,9924

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 7,7

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 45/5 = 9

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

Garis regresi

b = 52/40 = 1,3

a = 9 − 1,3·6 = 1,2

ŷ = 1,2 + 1,3·x

Prediksi

ŷ = 1,2 + 1,3·5 = 7,7

Jawaban

ŷ = 7,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1