Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 59, 15, 34, 17, 27, 56, 50.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 75. Berapa proporsi P nilai di bawah 440?
μ = 500σ = 75x = 440
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,25, 0,05, 0,35, 0,3
Var(X) =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X − 3. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,1, 0,2Y = 2X − 3
σY =
5.Distribusi normalSedang
Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,7823. Cari z sampai dua desimal.
A = 0,7823
z =
6.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Tekanan darah 9 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 1,6 dan simpangan baku 1. Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.
n = 9d̄ = 1,6sd = 199%t(8) = 3,355
batas atas = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 30. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?
σ = 30E = 399%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 81 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 501,9 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501,9s = 8n = 81
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 200 melawan H₁: μ > 200 dilakukan pada α = 0,10 dengan sampel berukuran 100; simpangan bakunya diketahui 30. Kenyataannya, rata-ratanya 203,6. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.
μ₀ = 200μ = 203,6σ = 30n = 100α = 0,10
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 72?
n = 6ŷ = 72
x =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 18,29
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 258/7 = 36,86
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 22,14² + (−21,86)² + (−2,857)² + (−19,86)² + (−9,857)² + 19,14² + 13,14² = 2007
Simpangan baku
s = √(2007/6) = 18,29
Jawaban
s = 18,29
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,2119
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −0,8
Tabel normal baku
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Jawaban
P = 0,2119
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 1,64
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 1·0,05 + 2·0,25 + 3·0,05 + 4·0,35 + 5·0,3 = 3,6
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 1·0,05 + 4·0,25 + 9·0,05 + 16·0,35 + 25·0,3 = 14,6
Variansi
Var(X) = 14,6 − 3,6² = 1,64
Jawaban
Var(X) = 1,64
4.Peluang
Jawaban: σY = 3,04
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2,7, Var(X) = 2,31, σX = 1,52
Perubahan linear
σY = |2|·1,52 = 3,04
Jawaban
σY = 3,04
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·2,7 − 3 = 2,4.
5.Distribusi normal
Jawaban: z = −0,78
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0,7823 = 0,2177
Baca tabel z secara terbalik
Cari 0,2177 di dalam tabel dan baca z.
z = −0,78
Jawaban
z = −0,78
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8849
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Standarkan
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Peluang
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Jawaban
P = 0,8849
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 2,718 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai kritis
df = 8, t = 3,355
Margin galat
E = 3,355·1/√9 = 1,118
Selang
1,6 ± 1,118 → [0,4817, 2,718]
Jawaban
batas atas = 2,718 mmHg
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 664
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2,576·30/3)² = 663,6
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 664
Jawaban
n = 664
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 2,137
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889
Statistik uji
t = (501,9 − 500)/0,8889 = 2,137
Jawaban
t = 2,137
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: 1 − β = 46,73 %
Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Rata-rata sampel kritis
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 200 + 1,282·3 = 203,8
z menurut rata-rata sebenarnya
z = (203,8 − 203,6)/3 = 0,082
Daya
kuasa = P(Z > 0,082) = 46,73%
1 − β = 46,73%
Jawaban
1 − β = 46,73%
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,9694
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19,4
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 75,2
Koefisien determinasi
r² = −27²/(10·75,2) = 0,9694
Jawaban
r² = 0,9694
Sekitar 96,94% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 4,517
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 394/6 = 65,67
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 109
Garis regresi
b = 109/17,5 = 6,229
a = 65,67 − 6,229·3,5 = 43,87
ŷ = 43,87 + 6,229·x
Selesaikan untuk x
x = (72 − 43,87)/6,229 = 4,517
Jawaban
x = 4,517
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1