Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
2025303540455055

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 58, 55, 34, 17, 50, 20.

n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 5. Tentukan skor z z untuk nilai 62,5.

μ = 70σ = 5x = 62,5
z =
3.PeluangSedang
merah: 6biru: 9

Sebuah kantong berisi 6 bola merah dan 9 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

6 / 9
P =
4.PeluangSulit
n = 8, p = 0,6: P(X ≤ 1) = ?k012345678

8 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,6. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 8p = 0,6
P =
5.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di sebelah kanan z = 0,0793

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,0793. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,0793
z =
6.Distribusi normalSulit
0,04 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,04 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
n = 7, sd​ = 5,20LU = ?d̄ = 1,2E90%

Tekanan darah 7 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 1,2 dan simpangan baku 5,2. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata selisih.

n = 7d̄ = 1,2sd = 5,290%t(6) = 1,943
batas atas = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 23, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 599%

Simpangan baku populasi adalah 23. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 5?

σ = 23E = 599%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,98401,984

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 98,76 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,76s = 4n = 100
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,64501,645

Sampel 64 pengukuran memiliki rata-rata 77,4. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 77,4σ = 15n = 6490%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy125220318418515xy24152025

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy253461668883109212102xy5106080100x = 11

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 11.

n = 6x = 11
ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 17,93

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 234/6 = 39

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 19² + 16² + (−5)² + (−22)² + 11² + (−19)² = 1608

Simpangan baku

s = √(1608/5) = 17,93

Jawaban

s = 17,93
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1,5

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (62,5 − 70)/5 = −1,5

Jawaban

z = −1,5
3.Peluang

Jawaban: P = 0,1429

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

Jawaban

P = 0,1429
4.Peluang

Jawaban: P = 0,00852

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,48 = 0,0006554
P(X = 1) = 8·0,6·0,47 = 0,007864

Jumlahkan

P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852

Jawaban

P = 0,00852
5.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,41

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,0793 = 0,9207

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9207 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,41

Jawaban

z = 1,41
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9452

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Standarkan

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Peluang

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Jawaban

P = 0,9452
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 5,019 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 6, t = 1,943

Margin galat

E = 1,943·5,2/√7 = 3,819

Selang

1,2 ± 3,819 → [−2,619, 5,019]

Jawaban

batas atas = 5,019 mmHg
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 141

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·23/5)² = 140,4

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 141

Jawaban

n = 141
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −3,1

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Statistik uji

t = (98,76 − 100)/0,4 = −3,1

Jawaban

t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| > 1,984, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 80,48

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,645·15/√64 = 3,084

Batas selang

U = 77,4 + 3,084 = 80,48

Jawaban

U = 80,48
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,8832

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 96/5 = 19,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 54,8

Koefisien determinasi

r² = −22²/(10·54,8) = 0,8832

Jawaban

r² = 0,8832

Sekitar 88,32% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 96,67

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 459/6 = 76,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 353

Garis regresi

b = 353/70 = 5,043
a = 76,5 − 5,043·7 = 41,2
ŷ = 41,2 + 5,043·x

Prediksi

ŷ = 41,2 + 5,043·11 = 96,67

Jawaban

ŷ = 96,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1