Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
1520253035404550

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 11, 27, 29, 43, 30, 51, 18.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 40. Berapa proporsi P nilai di bawah 460?

μ = 500σ = 40x = 460
P =
3.PeluangSedang
n = 8k = 4N = ?

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 8 orang? Urutan tidak penting.

n = 8k = 4
N =
4.PeluangSulit
xp(x)10,320,1530,2540,3μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 1. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3Y = 5X + 1
σY =
5.Distribusi normalSedang
175,9192P = ?

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 175,9 dan 192 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x1 = 175,9x2 = 192
P =
6.Distribusi normalSulit
557085100115130145poinbawah 5%

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 5% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin5%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
x̄E₁ = 7,590%, n = 64x̄E₂ = ?90%, n = 256

Selang kepercayaan 90% untuk rata-rata, berdasarkan 64 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 7,5. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 256 pengamatan?

90%n₁ = 64E₁ = 7,5n₂ = 256
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,590%

Simpangan baku populasi adalah 20. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5?

σ = 20E = 2,590%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,98401,984

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 72,84 dan simpangan baku sampel 12. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,84s = 12n = 100
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
μ₀x̄c

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 200 melawan H₁: μ > 200 dilakukan pada α = 0,05 dengan sampel berukuran 100; simpangan bakunya diketahui 20. Kenyataannya, rata-ratanya 206,4. Tentukan probabilitas galat tipe II β dalam persen.

μ₀ = 200μ = 206,4σ = 20n = 100α = 0,05
β = %
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy22476881410131220xy5101020

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy1810120116221172412426143xy2025100120140ŷ = 116

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 116?

n = 5ŷ = 116
x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,69

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 209/7 = 29,86

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−18,86)² + (−2,857)² + (−0,8571)² + 13,14² + 0,1429² + 21,14² + (−11,86)² = 1125

Simpangan baku

s = √(1125/6) = 13,69

Jawaban

s = 13,69
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1587

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = −1

Tabel normal baku

Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587
3.Peluang

Jawaban: N = 70

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

Jawaban

N = 70
4.Peluang

Jawaban: σY = 6,016

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 2,55, Var(X) = 1,447, σX = 1,203

Perubahan linear

σY = |5|·1,203 = 6,016

Jawaban

σY = 6,016

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 5·2,55 + 1 = 13,75.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,5952

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3
z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Luas di antara

P = Φ(2) − Φ(−0,3) = 0,9772 − 0,3821 = 0,5952

Jawaban

P = 0,5952
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 75,4 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,05

z dari tabel

z ≈ −1,64

Kembali ke satuan semula

x = 100 − 1,64·15 = 75,4 poin

Jawaban

x = 75,4 poin
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E₂ = 3,75

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rasio margin

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(64/256) = 0,5

Margin baru

E₂ = 7,5·0,5 = 3,75

Jawaban

E₂ = 3,75
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 174

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·20/2,5)² = 173,2

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 174

Jawaban

n = 174
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Statistik uji

t = (72,84 − 75)/1,2 = −1,8

Jawaban

t = −1,8
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: β = 5,997 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 20/√100 = 2
x̄c = 200 + 1,645·2 = 203,3

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (203,3 − 206,4)/2 = −1,555

Galat tipe II

kuasa = P(Z > −1,555) = 94%
β = 100% − 94% = 5,997%

Jawaban

β = 5,997%
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9651

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 64/6 = 10,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114
Syy = Σ(y − ȳ)² = 199,3

Koefisien korelasi

r = 114/√(70·199,3) = 0,9651

Jawaban

r = 0,9651
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 21,09

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 601/5 = 120,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184

Garis regresi

b = 184/40 = 4,6
a = 120,2 − 4,6·22 = 19
ŷ = 19 + 4,6·x

Selesaikan untuk x

x = (116 − 19)/4,6 = 21,09

Jawaban

x = 21,09

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1