Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 47, 54, 10, 13, 20, 51.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di atas 56?
μ = 50σ = 10x = 56
P =
3.PeluangSedang
Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?
4 / 4
P =
4.PeluangSulit
10 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,6. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 10p = 0,6
P =
5.Distribusi normalSedang
Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 10 di antaranya di bawah 248,4 kg. Bulatkan z ke dua desimal.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10< 248.4 kg
P =
6.Distribusi normalSulit
tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 25% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
7.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 100 ponsel, rata-rata 119,5 h, simpangan baku diketahui 18 h. Model 2: 60 ponsel, rata-rata 127,5 h, simpangan baku diketahui 3 h. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 100x̄₁ = 119,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 60x̄₂ = 127,5 hσ₂ = 3 h95%
batas bawah = h
8.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 11 petak, rata-rata hasil 45 kg, simpangan baku 4,5 kg. Kelompok petak 2: 10 petak, rata-rata 44 kg, simpangan baku 8,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 11x̄₁ = 45s₁ = 4,5n₂ = 10x̄₂ = 44s₂ = 8,595%t(19) = 2,093
E = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 16 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 114,5 dan simpangan baku sampel 20. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 114,5s = 20n = 16
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 2 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 17. Tentukan ukuran sampel minimum n.
α = 0,01kuasa = 80%δ = 2σ = 17zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 116?
n = 5ŷ = 116
x =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 20,29
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 195/6 = 32,5
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 14,5² + 21,5² + (−22,5)² + (−19,5)² + (−12,5)² + 18,5² = 2058
Simpangan baku
s = √(2058/5) = 20,29
Jawaban
s = 20,29
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,2743
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 0,6
Tabel normal baku
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Jawaban
P = 0,2743
3.Peluang
Jawaban: P = 0,2143
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pengambilan pertama dan kedua
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0,2143
Jawaban
P = 0,2143
4.Peluang
Jawaban: P = 0,001678
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,410 = 0,0001049
P(X = 1) = 10·0,6·0,49 = 0,001573
Jumlahkan
P = 0,0001049 + 0,001573 = 0,001678
Jawaban
P = 0,001678
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,1562
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi total
μT = 250 kg, σT = 0,5·√10 = 1,581 kg
Standarkan
z = (248,4 − 250)/1,581 = −1,01
Peluang
P = Φ(−1,01) = 0,1562
Jawaban
P = 0,1562
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 182,7 cm
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,75
z dari tabel
z ≈ 0,67
Kembali ke satuan semula
x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm
Jawaban
x = 182,7 cm
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = −11,61 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 119,5 − 127,5 = −8
Galat baku
SE = √(18²/100 + 3²/60) = 1,841
Margin galat
E = 1,96·1,841 = 3,609
Selang
−8 ± 3,609 → [−11,61, −4,391]
Jawaban
batas bawah = −11,61 h
Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.
8.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 6,127 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (10·4,5² + 9·8,5²)/19 = 44,88
sp = 6,699
Margin galat
E = 2,093·6,699·√(1/11 + 1/10) = 6,127
Jawaban
E = 6,127 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 2,9
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Statistik uji
t = (114,5 − 100)/5 = 2,9
Jawaban
t = 2,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 726
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2,326 + 0,842)·17/2)² = 725,1
Bulatkan ke atas
n = 726
Jawaban
n = 726
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9905
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 648/6 = 108
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 939
Syy = Σ(y − ȳ)² = 5706
Koefisien korelasi
r = 939/√(157,5·5706) = 0,9905
Jawaban
r = 0,9905
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 10,02
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 457/5 = 91,4
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 326
Garis regresi
b = 326/40 = 8,15
a = 91,4 − 8,15·7 = 34,35
ŷ = 34,35 + 8,15·x
Selesaikan untuk x
x = (116 − 34,35)/8,15 = 10,02
Jawaban
x = 10,02
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1