Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 22, 17, 35, 28, 24.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di atas 152?
μ = 170σ = 12x = 152
P =
3.PeluangSedang
Sebuah dadu adil dilempar 8 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?
n = 8
P =
4.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €5 untuk dimainkan. Anda memenangkan €15 dengan peluang 0,15 dan €100 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €5€15: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 482 dan 534 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 500σ = 40x1 = 482x2 = 534
P =
6.Distribusi normalSulit
nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 40% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.
μ = 65 poinσ = 10 poin40%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 30 unit memiliki rata-rata 116,5 dan simpangan baku s = 8,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
n = 30x̄ = 116,5s = 8,595%t(29) = 2,045
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 17. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 5?
σ = 17E = 590%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 100; simpangan baku populasinya diketahui 40. Sampel acak 100 pengamatan memiliki rata-rata 92,8. Uji H₀: μ = 100 melawan H₁: μ ≠ 100. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 100σ = 40n = 100x̄ = 92,8H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 3 satuan dengan kuasa 90%. Simpangan bakunya 8. Tentukan ukuran sampel minimum n.
α = 0,01kuasa = 90%δ = 3σ = 8zα = 2,326zβ = 1,282
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 98?
n = 5ŷ = 98
x =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 6,76
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 126/5 = 25,2
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−3,2)² + (−8,2)² + 9,8² + 2,8² + (−1,2)² = 182,8
Simpangan baku
s = √(182,8/4) = 6,76
Jawaban
s = 6,76
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,9332
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −1,5
Tabel normal baku
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Jawaban
P = 0,9332
3.Peluang
Jawaban: P = 0,7674
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Jawaban
P = 0,7674
4.Peluang
Jawaban: E(G) = −1,75 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 10 (p = 0,15), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,84)
Nilai harapan
E(G) = 10·0,15 + 95·0,01 − 5·0,84 = −1,75 €
Jawaban
E(G) = −1,75 €
Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,476
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45
z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85
Luas di antara
P = Φ(0,85) − Φ(−0,45) = 0,8023 − 0,3264 = 0,476
Jawaban
P = 0,476
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 62,5 poin
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,4
z dari tabel
z ≈ −0,25
Kembali ke satuan semula
x = 65 − 0,25·10 = 62,5 poin
Jawaban
x = 62,5 poin
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 113,3
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 29, t = 2,045
Margin galat
E = 2,045·8,5/√30 = 3,174
Selang
116,5 ± 3,174 → [113,3, 119,7]
Jawaban
batas bawah = 113,3
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 32
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,645·17/5)² = 31,28
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 32
Jawaban
n = 32
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,07186
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (92,8 − 100)/4 = −1,8
Luas ekor
Φ(1,8) = 0,9641
1 − Φ(1,8) = 0,0359
nilai p
p = 2·0,0359 = 0,07186
Jawaban
p = 0,07186
p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 93
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2,326 + 1,282)·8/3)² = 92,57
Bulatkan ke atas
n = 93
Jawaban
n = 93
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,9897
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 692/6 = 115,3
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 1026
Syy = Σ(y − ȳ)² = 6753
Koefisien determinasi
r² = 1026²/(157,5·6753) = 0,9897
Jawaban
r² = 0,9897
Sekitar 98,97% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 9,046
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 391/5 = 78,2
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 260
Garis regresi
b = 260/40 = 6,5
a = 78,2 − 6,5·6 = 39,2
ŷ = 39,2 + 6,5·x
Selesaikan untuk x
x = (98 − 39,2)/6,5 = 9,046
Jawaban
x = 9,046
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1