Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
1520253035404550

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 31, 40, 52, 51, 48, 33, 13.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di atas 30?

μ = 50σ = 20x = 30
P =
3.PeluangSedang
P(paling sedikit satu enam) = ??1?2?3?4?5P(enam) = 1/6 pada setiap lemparan

Sebuah dadu adil dilempar 5 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 5
P =
4.PeluangSulit
€p(x)−10,8410,15490,01

Sebuah permainan berbiaya €1 untuk dimainkan. Anda memenangkan €2 dengan peluang 0,15 dan €50 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €1€2: p = 0,15€50: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di sebelah kanan z = 0,1075

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,1075. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,1075
z =
6.Distribusi normalSulit
μ = 178x = ?5%

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
7.Selang kepercayaanSedang
n = 8, s = 13,5LU = ?x̄ = 89E90%

Sebuah sampel berisi 8 unit memiliki rata-rata 89 dan simpangan baku s = 13,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 8x̄ = 89s = 13,590%t(7) = 1,895
batas atas =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 36, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,599%

Simpangan baku populasi adalah 36. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5?

σ = 36E = 2,599%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−2,0452,045t = ?df = 29

Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 17 siswa, rata-rata nilai 63, simpangan baku 5,5. Kelompok 2: 14 siswa, rata-rata nilai 68,8, simpangan baku 6. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).

n₁ = 17x̄₁ = 63s₁ = 5,5n₂ = 14x̄₂ = 68,8s₂ = 6
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,595%

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5? Simpangan bakunya 12. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 12E = 2,595%
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy2124216288361045xy5102040

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy359575795910611123xy5106080100120x = 10

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (10, 112) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(10, 112)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,95

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 268/7 = 38,29

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−7,286)² + 1,714² + 13,71² + 12,71² + 9,714² + (−5,286)² + (−25,29)² = 1167

Simpangan baku

s = √(1167/6) = 13,95

Jawaban

s = 13,95
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,8413

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = −1

Tabel normal baku

Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413
3.Peluang

Jawaban: P = 0,5981

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Jawaban

P = 0,5981
4.Peluang

Jawaban: E(G) = −0,2 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 1 (p = 0,15), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,84)

Nilai harapan

E(G) = 1·0,15 + 49·0,01 − 1·0,84 = −0,2 €

Jawaban

E(G) = −0,2 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,24

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,1075 = 0,8925

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,8925 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,24

Jawaban

z = 1,24
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 166,5 cm

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Jawaban

x = 166,49 cm
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 98,04

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Margin galat

E = 1,895·13,5/√8 = 9,045

Selang

89 ± 9,045 → [79,96, 98,04]

Jawaban

batas atas = 98,04
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1376

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·36/2,5)² = 1376

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 1376

Jawaban

n = 1376
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,805

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians gabungan

sp² = (16·5,5² + 13·6²)/29 = 32,83
sp = 5,73

Galat baku

SE = 5,73·√(1/17 + 1/14) = 2,068

Statistik uji

t = (63 − 68,8)/2,068 = −2,805

Jawaban

t = −2,805

Dengan df = 29, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,045; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 89

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (1,96·12/2,5)² = 88,51

Bulatkan ke atas

n = 89

Jawaban

n = 89
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9983

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 142/5 = 28,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
Syy = Σ(y − ȳ)² = 657,2

Koefisien determinasi

r² = 162²/(40·657,2) = 0,9983

Jawaban

r² = 0,9983

Sekitar 99,83% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −3,45

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 458/5 = 91,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 318

Garis regresi

b = 318/40 = 7,95
a = 91,6 − 7,95·7 = 35,95
ŷ = 35,95 + 7,95·x

Nilai prediksi

ŷ = 35,95 + 7,95·10 = 115,4

Residu

e = 112 − 115,4 = −3,45

Jawaban

e = −3,45

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1