Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 26, 36, 24, 24, 24, 27, 37.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 42?
μ = 50σ = 8x = 42
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,3
Var(X) =
4.PeluangSulit
Sebuah tes memiliki 12 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,1, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 4 jawaban benar?
n = 12p = 0,1k = 4
P =
5.Distribusi normalSedang
Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 490 dan 534 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 500σ = 40x1 = 490x2 = 534
P =
6.Distribusi normalSulit
Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Tekanan darah 15 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 6,2 dan simpangan baku 4,1. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata selisih.
n = 15d̄ = 6,2sd = 4,195%t(14) = 2,145
batas bawah = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 19. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1?
σ = 19E = 190%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 205,7 dan simpangan baku sampel 20. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 205,7s = 20n = 36
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 50 melawan H₁: μ < 50 dilakukan pada α = 0.10 dengan sampel berukuran 100; simpangan bakunya diketahui 30. Kenyataannya, rata-ratanya 44.6. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.
μ₀ = 50μ = 44,6σ = 30n = 100α = 0,10
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 5,736
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 198/7 = 28,29
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−2,286)² + 7,714² + (−4,286)² + (−4,286)² + (−4,286)² + (−1,286)² + 8,714² = 197,4
Simpangan baku
s = √(197,4/6) = 5,736
Jawaban
s = 5,736
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,1587
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −1
Tabel normal baku
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Jawaban
P = 0,1587
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 1,44
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,6
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,2
Variansi
Var(X) = 8,2 − 2,6² = 1,44
Jawaban
Var(X) = 1,44
4.Peluang
Jawaban: P = 0,02131
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rumus binomial
P(X = 4) = 495·0,14·0,98 = 495·0,0001·0,4305 = 0,02131
Jawaban
P = 0,02131
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,401
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25
z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85
Luas di antara
P = Φ(0,85) − Φ(−0,25) = 0,8023 − 0,4013 = 0,401
Jawaban
P = 0,401
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7881
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standarkan
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Peluang
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Jawaban
P = 0,7881
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 3,929 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai kritis
df = 14, t = 2,145
Margin galat
E = 2,145·4,1/√15 = 2,271
Selang
6,2 ± 2,271 → [3,929, 8,471]
Jawaban
batas bawah = 3,929 mmHg
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 977
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,645·19/1)² = 976,9
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 977
Jawaban
n = 977
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 1,71
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Statistik uji
t = (205,7 − 200)/3,333 = 1,71
Jawaban
t = 1,71
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: 1 − β = 69,78 %
Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Rata-rata sampel kritis
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 50 − 1,282·3 = 46,15
z menurut rata-rata sebenarnya
z = (46,15 − 44,6)/3 = 0,518
Daya
kuasa = P(Z < 0.518) = 69.78%
1 − β = 69,78%
Jawaban
1 − β = 69,78%
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9646
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 68/5 = 13,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76
Syy = Σ(y − ȳ)² = 155,2
Koefisien korelasi
r = 76/√(40·155,2) = 0,9646
Jawaban
r = 0,9646
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 15,83
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 95/6 = 15,83
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5
Garis regresi
b = −40,5/17,5 = −2,314
a = 15,83 − (−2,314)·3,5 = 23,93
ŷ = 23,93 − 2,314·x
Prediksi
ŷ = 23,93 + (−2,314)·3,5 = 15,83
Jawaban
ŷ = 15,83
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1