Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 16, 50, 37, 53, 25, 20, 47.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 10. Tentukan skor z z untuk nilai 80.
μ = 100σ = 10x = 80
z =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,3, 0,25, 0,05, 0,15
σ =
4.PeluangSulit
Sebuah tes memiliki 11 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,3, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 2 jawaban benar?
n = 11p = 0,3k = 2
P =
5.Distribusi normalSedang
Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 60,5 dan 70,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 65σ = 10x1 = 60,5x2 = 70,5
P =
6.Distribusi normalSulit
Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 20 unit memiliki rata-rata 17,5 dan simpangan baku s = 5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
n = 20x̄ = 17,5s = 590%t(19) = 1,729
E =
8.Selang kepercayaanSulit
Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 99% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,05?
p = 0,5E = 0,0599%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 50 komponen memiliki rata-rata panjang 63,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 8 mm. Lini 2: sampel 60 komponen memiliki rata-rata 66 mm, simpangan baku diketahui 6 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).
n₁ = 50x̄₁ = 63,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 60x̄₂ = 66 mmσ₂ = 6 mm
z =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 150 dari 300 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 65 dari 150 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 150n₁ = 300x₂ = 65n₂ = 150
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 5Σx = 90Σy = 200Σx² = 1660Σy² = 8586Σxy = 3738
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (24,5, 133) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 5(24,5, 133)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 15,18
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 248/7 = 35,43
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−19,43)² + 14,57² + 1,571² + 17,57² + (−10,43)² + (−15,43)² + 11,57² = 1382
Simpangan baku
s = √(1382/6) = 15,18
Jawaban
s = 15,18
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −2
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (80 − 100)/10 = −2
Jawaban
z = −2
3.Peluang
Jawaban: σ = 1,322
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,05 + 5·0,15 = 2,55
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,05 + 25·0,15 = 8,25
Variansi
Var(X) = 8,25 − 2,55² = 1,748
σ = √1,748 = 1,322
Jawaban
σ = 1,322
4.Peluang
Jawaban: P = 0,1998
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rumus binomial
P(X = 2) = 55·0,32·0,79 = 55·0,09·0,04035 = 0,1998
Jawaban
P = 0,1998
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,3825
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (60,5 − 65)/10 = −0,45
z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55
Luas di antara
P = Φ(0,55) − Φ(−0,45) = 0,7088 − 0,3264 = 0,3825
Jawaban
P = 0,3825
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8413
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standarkan
z = (0 − 10)/10 = −1
Peluang
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Jawaban
P = 0,8413
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 1,933
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Margin galat
E = 1,729·5/√20 = 1,933
Jawaban
E = 1,933
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 664
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,05² = 663,6
Bulatkan ke atas
n = 664
Jawaban
n = 664
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −1,823
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Galat baku selisih
SE = √(8²/50 + 6²/60) = √1,88 = 1,371
Statistik uji
z = (63,5 − 66)/1,371 = −1,823
Jawaban
z = −1,823
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = 1,335
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 150/300 = 0,5
p̂₂ = 65/150 = 0,4333
p̂ = 215/450 = 0,4778
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,4778·0,5222·(1/300 + 1/150)) = 0,04995
Statistik uji
z = (0,5 − 0,4333)/0,04995 = 1,335
Jawaban
z = 1,335
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9014
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 3738 − 90·200/5 = 138
Sxx = 1660 − 90²/5 = 40
Syy = 8586 − 200²/5 = 586
Koefisien korelasi
r = 138/√(40·586) = 0,9014
Jawaban
r = 0,9014
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 3,25
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 598/5 = 119,6
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 609
Garis regresi
b = 609/90 = 6,767
a = 119,6 − 6,767·23 = −36,03
ŷ = −36,03 + 6,767·x
Nilai prediksi
ŷ = −36,03 + 6,767·24,5 = 129,8
Residu
e = 133 − 129,8 = 3,25
Jawaban
e = 3,25
Titik terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1