Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
32343638404244

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 42, 31, 44, 38, 33, 38.

n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 50. Berapa proporsi P nilai di bawah 520?

μ = 500σ = 50x = 520
P =
3.PeluangSedang
n = 14k = 3N = ?

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 3 orang dapat dipilih dari kelompok 14 orang? Urutan tidak penting.

n = 14k = 3
N =
4.PeluangSulit
xp(x)00,0510,0520,2530,340,35μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X + 4. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,05, 0,25, 0,3, 0,35Y = 0,5X + 4
σY =
5.Distribusi normalSedang
105 s111,4 sX + Y?

X normal dengan rata-rata 60 s dan simpangan baku 5 s; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 45 s dan simpangan baku 4 s. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 111,4 s. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 111,4 s
P =
6.Distribusi normalSulit
4 s0X − Y?

Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Selang kepercayaanSedang
n = 21, s = 1L = ?Ux̄ = 44E90%

Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 44 dan simpangan baku s = 1. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 21x̄ = 44s = 190%t(20) = 1,725
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
μ₁ − μ₂, t(12) = 3,0550LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 7 petak, rata-rata hasil 38 kg, simpangan baku 4,5 kg. Kelompok petak 2: 7 petak, rata-rata 44,5 kg, simpangan baku 8,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 38s₁ = 4,5n₂ = 7x̄₂ = 44,5s₂ = 8,599%t(12) = 3,055
E = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,98401,984

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 75,96 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,96s = 8n = 100
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
−1,961,96z = ?

Dalam suatu uji klinis, 50 dari 250 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 15 dari 150 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 250x₂ = 15n₂ = 150
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy246345457551664769xy246506070

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 27Σy = 332Σx² = 139Σy² = 18848Σxy = 1577
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy127220318417512xy24152025ŷ = 14

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 14?

n = 5ŷ = 14
x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 5,007

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 226/6 = 37,67

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 4,333² + (−6,667)² + 6,333² + 0,3333² + (−4,667)² + 0,3333² = 125,3

Simpangan baku

s = √(125,3/5) = 5,007

Jawaban

s = 5,007
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,6554

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 0,4

Tabel normal baku

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Jawaban

P = 0,6554
3.Peluang

Jawaban: N = 364

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364

Jawaban

N = 364
4.Peluang

Jawaban: σY = 0,554

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 2,85, Var(X) = 1,228, σX = 1,108

Perubahan linear

σY = |0,5|·1,108 = 0,554

Jawaban

σY = 0,554

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·2,85 + 4 = 5,425.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1587

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standarkan

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Ekor atas

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standarkan

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 43,62

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Margin galat

E = 1,725·1/√21 = 0,3764

Selang

44 ± 0,3764 → [43,62, 44,38]

Jawaban

batas bawah = 43,62
8.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 11,11 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

sp² = (6·4,5² + 6·8,5²)/12 = 46,25
sp = 6,801

Margin galat

E = 3,055·6,801·√(1/7 + 1/7) = 11,11

Jawaban

E = 11,11 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,2

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Statistik uji

t = (75,96 − 75)/0,8 = 1,2

Jawaban

t = 1,2
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,625

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporsi sampel

p̂₁ = 50/250 = 0,2
p̂₂ = 15/150 = 0,1
p̂ = 65/400 = 0,1625

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,1625·0,8375·(1/250 + 1/150)) = 0,0381

Statistik uji

z = (0,2 − 0,1)/0,0381 = 2,625

Jawaban

z = 2,625

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9081

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 1577 − 27·332/6 = 83
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 18848 − 332²/6 = 477,3

Koefisien korelasi

r = 83/√(17,5·477,3) = 0,9081

Jawaban

r = 0,9081
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 4,455

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 94/5 = 18,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

Garis regresi

b = −33/10 = −3,3
a = 18,8 − (−3,3)·3 = 28,7
ŷ = 28,7 − 3,3·x

Selesaikan untuk x

x = (14 − 28,7)/(−3,3) = 4,455

Jawaban

x = 4,455

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1