Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 22, 44, 18, 22, 34, 16, 33.
n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 73,2.
μ = 70σ = 8x = 73,2
z =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,35, 0,2
Var(X) =
4.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €2 untuk dimainkan. Anda memenangkan €10 dengan peluang 0,3 dan €40 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €2€10: p = 0,3€40: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 45 dan 73,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 65σ = 10x1 = 45x2 = 73,5
P =
6.Distribusi normalSulit
tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 30% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
7.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 40 ponsel, rata-rata 79,5 h, simpangan baku diketahui 5 h. Model 2: 100 ponsel, rata-rata 87 h, simpangan baku diketahui 17 h. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 40x̄₁ = 79,5 hσ₁ = 5 hn₂ = 100x̄₂ = 87 hσ₂ = 17 h90%
batas atas = h
8.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 31. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 5?
σ = 31E = 599%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 15 siswa, rata-rata nilai 29,5, simpangan baku 5. Kelompok 2: 7 siswa, rata-rata nilai 39, simpangan baku 9. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).
n₁ = 15x̄₁ = 29,5s₁ = 5n₂ = 7x̄₂ = 39s₂ = 9
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 16 pengukuran memiliki rata-rata 125,4. Simpangan baku populasi 8. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.
x̄ = 125,4σ = 8n = 1699%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 6Σx = 21Σy = 98Σx² = 91Σy² = 1710Σxy = 301
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (5,5, 18) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(5,5, 18)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 10,21
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 189/7 = 27
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−5)² + 17² + (−9)² + (−5)² + 7² + (−11)² + 6² = 626
Simpangan baku
s = √(626/6) = 10,21
Jawaban
s = 10,21
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = 0,4
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (73,2 − 70)/8 = 0,4
Jawaban
z = 0,4
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 1,15
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,35 + 4·0,2 = 2,5
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,35 + 16·0,2 = 7,4
Variansi
Var(X) = 7,4 − 2,5² = 1,15
Jawaban
Var(X) = 1,15
4.Peluang
Jawaban: E(G) = 1,4 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 8 (p = 0,3), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,69)
Nilai harapan
E(G) = 8·0,3 + 38·0,01 − 2·0,69 = 1,4 €
Jawaban
E(G) = 1,4 €
Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7796
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (45 − 65)/10 = −2
z₂ = (73,5 − 65)/10 = 0,85
Luas di antara
P = Φ(0,85) − Φ(−2) = 0,8023 − 0,02275 = 0,7796
Jawaban
P = 0,7796
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 174,4 cm
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,3
z dari tabel
z ≈ −0,52
Kembali ke satuan semula
x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm
Jawaban
x = 174,4 cm
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = −4,416 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 79,5 − 87 = −7,5
Galat baku
SE = √(5²/40 + 17²/100) = 1,875
Margin galat
E = 1,645·1,875 = 3,084
Selang
−7,5 ± 3,084 → [−10,58, −4,416]
Jawaban
batas atas = −4,416 h
Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 256
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2,576·31/5)² = 255,1
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 256
Jawaban
n = 256
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −3,21
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians gabungan
sp² = (14·5² + 6·9²)/20 = 41,8
sp = 6,465
Galat baku
SE = 6,465·√(1/15 + 1/7) = 2,959
Statistik uji
t = (29,5 − 39)/2,959 = −3,21
Jawaban
t = −3,21
Dengan df = 20, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,086; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: U = 130,6
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 2,576·8/√16 = 5,152
Batas selang
U = 125,4 + 5,152 = 130,6
Jawaban
U = 130,6
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = −0,9602
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 301 − 21·98/6 = −42
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1710 − 98²/6 = 109,3
Koefisien korelasi
r = −42/√(17,5·109,3) = −0,9602
Jawaban
r = −0,9602
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 5,048
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 112/6 = 18,67
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50
Garis regresi
b = −50/17,5 = −2,857
a = 18,67 − (−2,857)·3,5 = 28,67
ŷ = 28,67 − 2,857·x
Nilai prediksi
ŷ = 28,67 + (−2,857)·5,5 = 12,95
Residu
e = 18 − 12,95 = 5,048
Jawaban
e = 5,048
Titik terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1