Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
253035404550

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 54, 27, 36, 23, 27, 28.

n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di atas 55?

μ = 70σ = 10x = 55
P =
3.PeluangSedang
xp(x)100,15200,35300,35400,15μ = 25

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15
σ =
4.PeluangSulit
xp(x)10,1520,330,240,35μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 20. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35Y = 2X + 20
σY =
5.Distribusi normalSedang
200 mm200,6 mmX + Y?

X normal dengan rata-rata 120 mm dan simpangan baku 0,3 mm; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 80 mm dan simpangan baku 0,4 mm. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 200,6 mm. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,6 mm
P =
6.Distribusi normalSulit
557085100115130145poinatas 95%

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 95% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin95%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
n = 16, sd​ = 7,20LU = ?d̄ = 6,2E90%

Tekanan darah 16 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 6,2 dan simpangan baku 7,2. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata selisih.

n = 16d̄ = 6,2sd = 7,290%t(15) = 1,753
batas atas = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 19, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 490%

Simpangan baku populasi adalah 19. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 4?

σ = 19E = 490%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−2,0932,093t = ?df = 19

20 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 5,63 dan simpangan baku selisihnya 12. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.

n = 20d̄ = 5,63sd = 12
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0,01βσ = 9, kuasa 80%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 3 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 9. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,01kuasa = 80%δ = 3σ = 9zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy123221322417520xy24182022

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 15Σy = 103Σx² = 55Σy² = 2143Σxy = 299
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy2641161781910251231xy510102030ŷ = 19

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 19?

n = 6ŷ = 19
x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 11,36

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 195/6 = 32,5

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 21,5² + (−5,5)² + 3,5² + (−9,5)² + (−5,5)² + (−4,5)² = 645,5

Simpangan baku

s = √(645,5/5) = 11,36

Jawaban

s = 11,36
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,9332

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = −1,5

Tabel normal baku

Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332
3.Peluang

Jawaban: σ = 9,22

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,35 + 40·0,15 = 25

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,35 + 1600·0,15 = 710

Variansi

Var(X) = 710 − 25² = 85
σ = √85 = 9,22

Jawaban

σ = 9,22
4.Peluang

Jawaban: σY = 2,179

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 2,75, Var(X) = 1,188, σX = 1,09

Perubahan linear

σY = |2|·1,09 = 2,179

Jawaban

σY = 2,179

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·2,75 + 20 = 25,5.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1151

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standarkan

z = (200,6 − 200)/0,5 = 1,2

Ekor atas

P = 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151

Jawaban

P = 0,1151
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 75,4 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,05

z dari tabel

z ≈ −1,64

Kembali ke satuan semula

x = 100 − 1,64·15 = 75,4 poin

Jawaban

x = 75,4 poin
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 9,355 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 15, t = 1,753

Margin galat

E = 1,753·7,2/√16 = 3,155

Selang

6,2 ± 3,155 → [3,045, 9,355]

Jawaban

batas atas = 9,355 mmHg
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 62

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·19/4)² = 61,05

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 62

Jawaban

n = 62
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,098

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Galat baku rata-rata selisih

SE = 12/√20 = 2,683

Statistik uji

t = 5,63/2,683 = 2,098

Jawaban

t = 2,098

Dengan df = 19, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,093; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 91

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2,326 + 0,842)·9/3)² = 90,33

Bulatkan ke atas

n = 91

Jawaban

n = 91
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = −0,6868

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 299 − 15·103/5 = −10
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2143 − 103²/5 = 21,2

Koefisien korelasi

r = −10/√(10·21,2) = −0,6868

Jawaban

r = −0,6868
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 7,345

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 109/6 = 18,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 169

Garis regresi

b = 169/70 = 2,414
a = 18,17 − 2,414·7 = 1,267
ŷ = 1,267 + 2,414·x

Selesaikan untuk x

x = (19 − 1,267)/2,414 = 7,345

Jawaban

x = 7,345

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1