Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
15202530354045

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 15, 24, 20, 47, 19.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di bawah 70?

μ = 60σ = 10x = 70
P =
3.PeluangSedang
xp(x)100,35200,3300,15400,2μ = 22

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,3, 0,15, 0,2
σ =
4.PeluangSulit
xp(x)10,2520,330,3540,1μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X + 1. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,35, 0,1Y = 0,5X + 1
σY =
5.Distribusi normalSedang
23,335P = ?

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 23,3 dan 35 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 32σ = 6x1 = 23,3x2 = 35
P =
6.Distribusi normalSulit
μ = 250x = ?20%

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 20% data (persentil ke-20).

μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
7.Selang kepercayaanSedang
n = 11, s = 1LU = ?x̄ = 15,5E95%

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 15,5 dan simpangan baku s = 1. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 15,5s = 195%t(10) = 2,228
batas atas =
8.Selang kepercayaanSulit
μ₁ − μ₂, t(20) = 1,7250L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 15 petak, rata-rata hasil 41,5 kg, simpangan baku 8 kg. Kelompok petak 2: 7 petak, rata-rata 34 kg, simpangan baku 1,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 41,5s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 34s₂ = 1,590%t(20) = 1,725
batas bawah = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−1,961,96z = ?

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 50 komponen memiliki rata-rata panjang 95,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 12 mm. Lini 2: sampel 30 komponen memiliki rata-rata 91,6 mm, simpangan baku diketahui 12 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 50x̄₁ = 95,5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 30x̄₂ = 91,6 mmσ₂ = 12 mm
z =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1,5α = 0,05βσ = 6, kuasa 95%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 1,5 satuan dengan kuasa 95%. Simpangan bakunya 6. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,05kuasa = 95%δ = 1,5σ = 6zα = 1,645zβ = 1,645
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy142245343448551xy244550

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy3675697769911191xy510708090x = 4

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (4, 65) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(4, 65)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,71

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 125/5 = 25

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−1)² + (−5)² + 22² + (−6)² = 646

Simpangan baku

s = √(646/4) = 12,71

Jawaban

s = 12,71
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,8413

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 1

Tabel normal baku

Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413
3.Peluang

Jawaban: σ = 11,22

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 10·0,35 + 20·0,3 + 30·0,15 + 40·0,2 = 22

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,3 + 900·0,15 + 1600·0,2 = 610

Variansi

Var(X) = 610 − 22² = 126
σ = √126 = 11,22

Jawaban

σ = 11,22
4.Peluang

Jawaban: σY = 0,477

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 2,3, Var(X) = 0,91, σX = 0,9539

Perubahan linear

σY = |0,5|·0,9539 = 0,477

Jawaban

σY = 0,477

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·2,3 + 1 = 2,15.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,6179

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (23,3 − 32)/6 = −1,45
z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5

Luas di antara

P = Φ(0,5) − Φ(−1,45) = 0,6915 − 0,07353 = 0,6179

Jawaban

P = 0,6179
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 245,8 g

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Kembali ke x

x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g

Jawaban

x = 245,79 g
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 16,17

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margin galat

E = 2,228·1/√11 = 0,6718

Selang

15,5 ± 0,6718 → [14,83, 16,17]

Jawaban

batas atas = 16,17
8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 2,175 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

sp² = (14·8² + 6·1,5²)/20 = 45,48
sp = 6,744

Margin galat

E = 1,725·6,744·√(1/15 + 1/7) = 5,325

Selang

7,5 ± 5,325 → [2,175, 12,82]

Jawaban

batas bawah = 2,175 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 1,407

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(12²/50 + 12²/30) = √7,68 = 2,771

Statistik uji

z = (95,5 − 91,6)/2,771 = 1,407

Jawaban

z = 1,407

|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 174

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1,645 + 1,645)·6/1,5)² = 173,2

Bulatkan ke atas

n = 174

Jawaban

n = 174
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,8971

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 229/5 = 45,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 54,8

Koefisien korelasi

r = 21/√(10·54,8) = 0,8971

Jawaban

r = 0,8971
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −3,3

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 394/5 = 78,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

Garis regresi

b = 140/40 = 3,5
a = 78,8 − 3,5·7 = 54,3
ŷ = 54,3 + 3,5·x

Nilai prediksi

ŷ = 54,3 + 3,5·4 = 68,3

Residu

e = 65 − 68,3 = −3,3

Jawaban

e = −3,3

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1