Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 31, 32, 43, 46, 42.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di atas 125?

μ = 100σ = 20x = 125

P =

3.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 5 orang dapat dipilih dari kelompok 13 orang? Urutan tidak penting.

n = 13k = 5

N =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 10 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,2, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 4 jawaban benar?

n = 10p = 0,2k = 4

P =

5.Distribusi normalSedang

Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 16 di antaranya di bawah 398 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16< 398 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 10 unit memiliki rata-rata 104 dan simpangan baku s = 17. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 10x̄ = 104s = 1795%t(9) = 2,262

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 31. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?

σ = 31E = 1,595%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 9 siswa, rata-rata nilai 92, simpangan baku 4. Kelompok 2: 8 siswa, rata-rata nilai 86,3, simpangan baku 8,5. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).

n₁ = 9x̄₁ = 92s₁ = 4n₂ = 8x̄₂ = 86,3s₂ = 8,5

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Dalam suatu uji klinis, 45 dari 150 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 63 dari 300 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 150x₂ = 63n₂ = 300

z =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 89Σx² = 364Σy² = 1697Σxy = 784

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 87?

n = 5ŷ = 87

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 6,834

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 194/5 = 38,8

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−7,8)² + (−6,8)² + 4,2² + 7,2² + 3,2² = 186,8

Simpangan baku

s = √(186,8/4) = 6,834

Jawaban

s = 6,834

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1056

Standarkan

z = 1,25

Tabel normal baku

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Jawaban

P = 0,1056

3.Peluang

Jawaban: N = 1287

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

Jawaban

N = 1287

4.Peluang

Jawaban: P = 0,08808

Rumus binomial

P(X = 4) = 210·0,2⁴·0,8⁶ = 210·0,0016·0,2621 = 0,08808

Jawaban

P = 0,08808

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1587

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Standarkan

z = (398 − 400)/2 = −1

Peluang

P = Φ(−1) = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587

6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Distribusi selisih

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standarkan

z = (0 − 10)/10 = −1

Peluang

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 116,2

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Margin galat

E = 2,262·17/√10 = 12,16

Selang

104 ± 12,16 → [91,84, 116,2]

Jawaban

batas atas = 116,2

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1641

Selesaikan untuk n

n = (1,96·31/1,5)² = 1641

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 1641

Jawaban

n = 1641

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,805

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians gabungan

s_p² = (8·4² + 7·8,5²)/15 = 42,25

s_p = 6,5

Galat baku

SE = 6,5·√(1/9 + 1/8) = 3,158

Statistik uji

t = (92 − 86,3)/3,158 = 1,805

Jawaban

t = 1,805

Dengan df = 15, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,131; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,107

Proporsi sampel

p̂₁ = 45/150 = 0,3

p̂₂ = 63/300 = 0,21

p̂ = 108/450 = 0,24

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,24·0,76·(1/150 + 1/300)) = 0,04271

Statistik uji

z = (0,3 − 0,21)/0,04271 = 2,107

Jawaban

z = 2,107

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9913

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 784 − 42·89/6 = 161

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1697 − 89²/6 = 376,8

Koefisien korelasi

r = 161/√(70·376,8) = 0,9913

Jawaban

r = 0,9913

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 15,57

Rata-rata

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 553/5 = 110,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 480

Garis regresi

b = 480/90 = 5,333

a = 110,6 − 5,333·20 = 3,933

ŷ = 3,933 + 5,333·x

Selesaikan untuk x

x = (87 − 3,933)/5,333 = 15,57

Jawaban

x = 15,57

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1