Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
15202530354045

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 16, 21, 27, 20, 44, 14, 46.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 25. Tentukan skor z z untuk nilai 550.

μ = 500σ = 25x = 550
z =
3.PeluangSedang
n = 9k = 4N = ?

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 9 orang? Urutan tidak penting.

n = 9k = 4
N =
4.PeluangSulit
xp(x)00,1510,220,3530,3μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 10. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,3Y = 3X + 10
σY =
5.Distribusi normalSedang
300 kg303,5 kgT = X₁ + … + X₁₂?

Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 12 di antaranya di bawah 303,5 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12< 303.5 kg
P =
6.Distribusi normalSulit
35455565758595poinatas 25%

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 25% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin25%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
n = 12, s = 20LUx̄ = 48,5E = ?90%

Sebuah sampel berisi 12 unit memiliki rata-rata 48,5 dan simpangan baku s = 20. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 12x̄ = 48,5s = 2090%t(11) = 1,796
E =
8.Selang kepercayaanSulit
n = 10Lσ = ?s = 3,495%

Diameter 10 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 3,4 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 9, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 2,7 dan 2,5% berada di atas 19,023.

n = 10s = 3,4 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,98401,984

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 99,1 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 99,1s = 5n = 100
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,9601,96

Sampel 100 pengukuran memiliki rata-rata 69,6. Simpangan baku populasi 20. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 69,6σ = 20n = 10095%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy126223322420520619xy2462025

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy354466564673782883xy468607080ŷ = 76

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 76?

n = 6ŷ = 76
x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,07

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 188/7 = 26,86

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−10,86)² + (−5,857)² + 0,1429² + (−6,857)² + 17,14² + (−12,86)² + 19,14² = 1025

Simpangan baku

s = √(1025/6) = 13,07

Jawaban

s = 13,07
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 2

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (550 − 500)/25 = 2

Jawaban

z = 2
3.Peluang

Jawaban: N = 126

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

Jawaban

N = 126
4.Peluang

Jawaban: σY = 3,089

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1,8, Var(X) = 1,06, σX = 1,03

Perubahan linear

σY = |3|·1,03 = 3,089

Jawaban

σY = 3,089

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 3·1,8 + 10 = 15,4.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9783

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 300 kg, σT = 0,5·√12 = 1,732 kg

Standarkan

z = (303,5 − 300)/1,732 = 2,02

Peluang

P = Φ(2,02) = 0,9783

Jawaban

P = 0,9783
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 71,7 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,75

z dari tabel

z ≈ 0,67

Kembali ke satuan semula

x = 65 + 0,67·10 = 71,7 poin

Jawaban

x = 71,7 poin
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 10,37

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Margin galat

E = 1,796·20/√12 = 10,37

Jawaban

E = 10,37
8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 6,208 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 9·3,4² = 104

Batas untuk σ²

104/19,023 = 5,469
104/2,7 = 38,53

Batas untuk σ

σ = √38,53 = 6,208 µm

Jawaban

σ = 6,208 µm

Selang 95% untuk σ: [2,339, 6,208] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Statistik uji

t = (99,1 − 100)/0,5 = −1,8

Jawaban

t = −1,8
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 73,52

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·20/√100 = 3,92

Batas selang

U = 69,6 + 3,92 = 73,52

Jawaban

U = 73,52
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = −0,9523

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 130/6 = 21,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
Syy = Σ(y − ȳ)² = 33,33

Koefisien korelasi

r = −23/√(17,5·33,33) = −0,9523

Jawaban

r = −0,9523
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 6,482

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 422/6 = 70,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 101

Garis regresi

b = 101/17,5 = 5,771
a = 70,33 − 5,771·5,5 = 38,59
ŷ = 38,59 + 5,771·x

Selesaikan untuk x

x = (76 − 38,59)/5,771 = 6,482

Jawaban

x = 6,482

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1