Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 43, 55, 21, 51, 32, 35.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 53,6?

μ = 60σ = 8x = 53,6

P =

3.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 2 orang dapat dipilih dari kelompok 10 orang? Urutan tidak penting.

n = 10k = 2

N =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 7 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,6, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 3 jawaban benar?

n = 7p = 0,6k = 3

P =

5.Distribusi normalSedang

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 78,25 dan 122,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 100σ = 15x₁ = 78,25x₂ = 122,5

P =

6.Distribusi normalSulit

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 20% data (persentil ke-20).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

7.Selang kepercayaanSedang

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 80 ponsel, rata-rata 113 h, simpangan baku diketahui 15 h. Model 2: 30 ponsel, rata-rata 117 h, simpangan baku diketahui 14 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 113 hσ₁ = 15 hn₂ = 30x̄₂ = 117 hσ₂ = 14 h95%

E = h

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 6. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?

σ = 6E = 1,595%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 25 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 193,8 dan simpangan baku sampel 10. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 193,8s = 10n = 25

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 64 pengukuran memiliki rata-rata 499. Simpangan baku populasi 20. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 499σ = 20n = 6495%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 110Σy = 389Σx² = 2510Σy² = 31557Σxy = 8894

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (20,5, 93) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(20,5, 93)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,68

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 237/6 = 39,5

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 3,5² + 15,5² + (−18,5)² + 11,5² + (−7,5)² + (−4,5)² = 803,5

Simpangan baku

s = √(803,5/5) = 12,68

Jawaban

s = 12,68

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,2119

Standarkan

z = −0,8

Tabel normal baku

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Jawaban

P = 0,2119

3.Peluang

Jawaban: N = 45

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Jawaban

N = 45

4.Peluang

Jawaban: P = 0,1935

Rumus binomial

P(X = 3) = 35·0,6³·0,4⁴ = 35·0,216·0,0256 = 0,1935

Jawaban

P = 0,1935

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8597

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (78,25 − 100)/15 = −1,45

z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Luas di antara

P = Φ(1,5) − Φ(−1,45) = 0,9332 − 0,07353 = 0,8597

Jawaban

P = 0,8597

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 26,95 min

z untuk persentil

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Kembali ke x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Jawaban

x = 26,95 min

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 5,992 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 113 − 117 = −4

Galat baku

SE = √(15²/80 + 14²/30) = 3,057

Margin galat

E = 1,96·3,057 = 5,992

Jawaban

E = 5,992 h

Selang memuat 0, jadi data tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 62

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,96·6/1,5)² = 61,47

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 62

Jawaban

n = 62

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −3,1

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Statistik uji

t = (193,8 − 200)/2 = −3,1

Jawaban

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 503,9

Margin galat

E = 1,96·20/√64 = 4,9

Batas selang

U = 499 + 4,9 = 503,9

Jawaban

U = 503,9

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,985

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 8894 − 110·389/5 = 336

S_xx = 2510 − 110²/5 = 90

S_yy = 31557 − 389²/5 = 1293

Koefisien korelasi

r = 336/√(90·1293) = 0,985

Jawaban

r = 0,985

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −4,981

Rata-rata

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 700/6 = 116,7

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 981

Garis regresi

b = 981/157,5 = 6,229

a = 116,7 − 6,229·23,5 = −29,7

ŷ = −29,7 + 6,229·x

Nilai prediksi

ŷ = −29,7 + 6,229·20,5 = 97,98

Residu

e = 93 − 97,98 = −4,981

Jawaban

e = −4,981

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1