Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 50, 44, 52, 16, 27, 24.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 60,4.

μ = 70σ = 8x = 60,4

z =

3.PeluangSedang

Sebuah dadu adil dilempar 3 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 3

P =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 10 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,2, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 1 jawaban benar?

n = 10p = 0,2k = 1

P =

5.Distribusi normalSedang

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 65 dan 80,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 65x₂ = 80,5

P =

6.Distribusi normalSulit

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 25% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 10 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 5,1 dan simpangan baku 2,8. Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.

n = 10d̄ = 5,1s_d = 2,899%t(9) = 3,25

batas atas = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 25 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 1,9 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 24, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 12,401 dan 2,5% berada di atas 39,364.

n = 25s = 1,9 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 16 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 48,25 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,25s = 5n = 16

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5? Simpangan bakunya 5. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 5E = 1,595%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 110Σy = 352Σx² = 2460Σy² = 25276Σxy = 7884

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (7, 66) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(7, 66)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 15,1

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 213/6 = 35,5

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 14,5² + 8,5² + 16,5² + (−19,5)² + (−8,5)² + (−11,5)² = 1140

Simpangan baku

s = √(1140/5) = 15,1

Jawaban

s = 15,1

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1,2

Standarkan

z = (60,4 − 70)/8 = −1,2

Jawaban

z = −1,2

3.Peluang

Jawaban: P = 0,4213

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Jawaban

P = 0,4213

4.Peluang

Jawaban: P = 0,2684

Rumus binomial

P(X = 1) = 10·0,2¹·0,8⁹ = 10·0,2·0,1342 = 0,2684

Jawaban

P = 0,2684

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,4394

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (65 − 65)/10 = 0

z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55

Luas di antara

P = Φ(1,55) − Φ(0) = 0,9394 − 0,5 = 0,4394

Jawaban

P = 0,4394

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 253,4 g

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,75

z dari tabel

z ≈ 0,67

Kembali ke satuan semula

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

Jawaban

x = 253,4 g

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 7,978 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 9, t = 3,25

Margin galat

E = 3,25·2,8/√10 = 2,878

Selang

5,1 ± 2,878 → [2,222, 7,978]

Jawaban

batas atas = 7,978 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 1,484 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 24·1,9² = 86,64

Batas untuk σ²

86,64/39,364 = 2,201

86,64/12,401 = 6,987

Batas untuk σ

σ = √2,201 = 1,484 µm

Jawaban

σ = 1,484 µm

Selang 95% untuk σ: [1,484, 2,643] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,4

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Statistik uji

t = (48,25 − 50)/1,25 = −1,4

Jawaban

t = −1,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 43

Selesaikan untuk n

n = (1,96·5/1,5)² = 42,68

Bulatkan ke atas

n = 43

Jawaban

n = 43

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9947

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 7884 − 110·352/5 = 140

S_xx = 2460 − 110²/5 = 40

S_yy = 25276 − 352²/5 = 495,2

Koefisien korelasi

r = 140/√(40·495,2) = 0,9947

Jawaban

r = 0,9947

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 3,167

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 377/6 = 62,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 223

Garis regresi

b = 223/70 = 3,186

a = 62,83 − 3,186·7 = 40,53

ŷ = 40,53 + 3,186·x

Nilai prediksi

ŷ = 40,53 + 3,186·7 = 62,83

Residu

e = 66 − 62,83 = 3,167

Jawaban

e = 3,167

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1