Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
202530354045

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 18, 36, 36, 40, 49.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 46?

μ = 50σ = 8x = 46
P =
3.PeluangSedang
n = 6k = 2N = ?

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 2 orang dapat dipilih dari kelompok 6 orang? Urutan tidak penting.

n = 6k = 2
N =
4.PeluangSulit
n = 6, p = 0,2: P(X = 4) = ?k0123456

Sebuah tes memiliki 6 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,2, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 4 jawaban benar?

n = 6p = 0,2k = 4
P =
5.Distribusi normalSedang
242259,25P = ?

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 242 dan 259,25 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 250σ = 5x1 = 242x2 = 259,25
P =
6.Distribusi normalSulit
0,02 mm0D − d?

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
n = 16, s = 14LUx̄ = 100,5E = ?99%

Sebuah sampel berisi 16 unit memiliki rata-rata 100,5 dan simpangan baku s = 14. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 16x̄ = 100,5s = 1499%t(15) = 2,947
E =
8.Selang kepercayaanSulit
μ₁ − μ₂, t(12) = 1,7820LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 9 petak, rata-rata hasil 31,5 kg, simpangan baku 10 kg. Kelompok petak 2: 5 petak, rata-rata 26 kg, simpangan baku 4 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 31,5s₁ = 10n₂ = 5x̄₂ = 26s₂ = 490%t(12) = 1,782
batas atas = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,9901,99

Sampel 81 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 118 dan simpangan baku sampel 8. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118s = 8n = 81
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,590%

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 0,5? Simpangan bakunya 12. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 12E = 0,590%
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy1874217824100271173012533141xy202530100

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy360472570678780887xy46860708090ŷ = 76

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 76?

n = 6ŷ = 76
x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 11,28

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 179/5 = 35,8

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−17,8)² + 0,2² + 0,2² + 4,2² + 13,2² = 508,8

Simpangan baku

s = √(508,8/4) = 11,28

Jawaban

s = 11,28
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3085

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = −0,5

Tabel normal baku

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085

Jawaban

P = 0,3085
3.Peluang

Jawaban: N = 15

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

Jawaban

N = 15
4.Peluang

Jawaban: P = 0,01536

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 4) = 15·0,24·0,82 = 15·0,0016·0,64 = 0,01536

Jawaban

P = 0,01536
5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,913

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (242 − 250)/5 = −1,6
z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85

Luas di antara

P = Φ(1,85) − Φ(−1,6) = 0,9678 − 0,0548 = 0,913

Jawaban

P = 0,913
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Standarkan

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 10,31

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Margin galat

E = 2,947·14/√16 = 10,31

Jawaban

E = 10,31
8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 13,93 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

sp² = (8·10² + 4·4²)/12 = 72
sp = 8,485

Margin galat

E = 1,782·8,485·√(1/9 + 1/5) = 8,434

Selang

5,5 ± 8,434 → [−2,934, 13,93]

Jawaban

batas atas = 13,93 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,25

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Statistik uji

t = (118 − 120)/0,8889 = −2,25

Jawaban

t = −2,25
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 1559

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (1,645·12/0,5)² = 1559

Bulatkan ke atas

n = 1559

Jawaban

n = 1559
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9778

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 635/6 = 105,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 739,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3551

Koefisien determinasi

r² = 739,5²/(157,5·3551) = 0,9778

Jawaban

r² = 0,9778

Sekitar 97,78% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 5,814

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 447/6 = 74,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 83,5

Garis regresi

b = 83,5/17,5 = 4,771
a = 74,5 − 4,771·5,5 = 48,26
ŷ = 48,26 + 4,771·x

Selesaikan untuk x

x = (76 − 48,26)/4,771 = 5,814

Jawaban

x = 5,814

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1