Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 26, 19, 48, 39, 18.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 52?
μ = 60σ = 8x = 52
P =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X − 3. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,3, 0,1, 0,25, 0,25Y = −2X − 3
σY =
5.Distribusi normalSedang
Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 22,7 dan 35 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 32σ = 6x1 = 22,7x2 = 35
P =
6.Distribusi normalSulit
nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 75% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 65 poinσ = 10 poin75%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 90% untuk rata-rata, berdasarkan 64 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 1,2. Berapa margin galat E₂ selang 95% berdasarkan 16 pengamatan?
90%n₁ = 64E₁ = 1,295%n₂ = 16
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
Diameter 20 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 5,3 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 19, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 8,907 dan 2,5% berada di atas 32,852.
n = 20s = 5,3 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 40 komponen memiliki rata-rata panjang 87,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 3 mm. Lini 2: sampel 30 komponen memiliki rata-rata 79,2 mm, simpangan baku diketahui 16 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).
n₁ = 40x̄₁ = 87,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 30x̄₂ = 79,2 mmσ₂ = 16 mm
z =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 80 melawan H₁: μ < 80 dilakukan pada α = 0.05 dengan sampel berukuran 64; simpangan bakunya diketahui 24. Kenyataannya, rata-ratanya 73.4. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.
μ₀ = 80μ = 73,4σ = 24n = 64α = 0,05
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (25,5, 59) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 5(25,5, 59)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 13,1
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 150/5 = 30
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−11)² + 18² + 9² + (−12)² = 686
Simpangan baku
s = √(686/4) = 13,1
Jawaban
s = 13,1
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,1587
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −1
Tabel normal baku
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Jawaban
P = 0,1587
3.Peluang
Jawaban: σ = 0,8047
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Variansi
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Jawaban
σ = 0,8047
4.Peluang
Jawaban: σY = 2,748
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2,25, Var(X) = 1,888, σX = 1,374
Perubahan linear
σY = |−2|·1,374 = 2,748
Jawaban
σY = 2,748
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·2,25 − 3 = −7,5.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,6309
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55
z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5
Luas di antara
P = Φ(0,5) − Φ(−1,55) = 0,6915 − 0,06057 = 0,6309
Jawaban
P = 0,6309
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 58,3 poin
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,25
z dari tabel
z ≈ −0,67
Kembali ke satuan semula
x = 65 − 0,67·10 = 58,3 poin
Jawaban
x = 58,3 poin
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 2,86
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/16) = 2,383
Margin baru
E₂ = 1,2·2,383 = 2,86
Jawaban
E₂ = 2,86
8.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 4,031 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 19·5,3² = 533,7
Batas untuk σ²
533,7/32,852 = 16,25
533,7/8,907 = 59,92
Batas untuk σ
σ = √16,25 = 4,031 µm
Jawaban
σ = 4,031 µm
Selang 95% untuk σ: [4,031, 7,741] µm.
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = 2,805
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Galat baku selisih
SE = √(3²/40 + 16²/30) = √8,758 = 2,959
Statistik uji
z = (87,5 − 79,2)/2,959 = 2,805
Jawaban
z = 2,805
|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: 1 − β = 71,06 %
Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Rata-rata sampel kritis
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 80 − 1,645·3 = 75,06
z menurut rata-rata sebenarnya
z = (75,06 − 73,4)/3 = 0,555
Daya
kuasa = P(Z < 0.555) = 71.06%
1 − β = 71,06%
Jawaban
1 − β = 71,06%
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,9729
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 476/6 = 79,33
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 127
Syy = Σ(y − ȳ)² = 947,3
Koefisien determinasi
r² = 127²/(17,5·947,3) = 0,9729
Jawaban
r² = 0,9729
Sekitar 97,29% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 2,45
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 225/5 = 45
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 231
Garis regresi
b = 231/90 = 2,567
a = 45 − 2,567·21 = −8,9
ŷ = −8,9 + 2,567·x
Nilai prediksi
ŷ = −8,9 + 2,567·25,5 = 56,55
Residu
e = 59 − 56,55 = 2,45
Jawaban
e = 2,45
Titik terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1