Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 35, 47, 35, 52, 33, 45, 30.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 10. Tentukan skor z z untuk nilai 50.

μ = 60σ = 10x = 50

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,05, 0,35, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.PeluangSulit

7 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,2. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 7p = 0,2

P =

5.Distribusi normalSedang

Massa kotak saling bebas dan normal dengan rata-rata 12 kg dan simpangan baku 0,8 kg. Cari peluang P bahwa massa total 6 di antaranya melebihi 73 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6> 73 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 99% data (persentil ke-99).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 10 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 3,7 dan simpangan baku 5. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.

n = 10d̄ = 3,7s_d = 599%t(9) = 3,25

batas bawah = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 17. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5?

σ = 17E = 2,595%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 49 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 98,74 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,74s = 4n = 49

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 50 melawan H₁: μ < 50 dilakukan pada α = 0.10 dengan sampel berukuran 25; simpangan bakunya diketahui 7.5. Kenyataannya, rata-ratanya 47.6. Tentukan probabilitas galat tipe II β dalam persen.

μ₀ = 50μ = 47,6σ = 7,5n = 25α = 0,10

β = %

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 8,324

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 277/7 = 39,57

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−4,571)² + 7,429² + (−4,571)² + 12,43² + (−6,571)² + 5,429² + (−9,571)² = 415,7

Simpangan baku

s = √(415,7/6) = 8,324

Jawaban

s = 8,324

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1

Standarkan

z = (50 − 60)/10 = −1

Jawaban

z = −1

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 89

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 10·0,05 + 20·0,35 + 30·0,25 + 40·0,35 = 29

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 100·0,05 + 400·0,35 + 900·0,25 + 1600·0,35 = 930

Variansi

Var(X) = 930 − 29² = 89

Jawaban

Var(X) = 89

4.Peluang

Jawaban: P = 0,5767

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,8⁷ = 0,2097

P(X = 1) = 7·0,2·0,8⁶ = 0,367

Jumlahkan

P = 0,2097 + 0,367 = 0,5767

Jawaban

P = 0,5767

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,305

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 72 kg, σ_T = 0,8·√6 = 1,96 kg

Standarkan

z = (73 − 72)/1,96 = 0,51

Peluang

P = 1 − Φ(0,51) = 0,305

Jawaban

P = 0,305

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 45,96 min

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Kembali ke x

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Jawaban

x = 45,96 min

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −1,439 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 9, t = 3,25

Margin galat

E = 3,25·5/√10 = 5,139

Selang

3,7 ± 5,139 → [−1,439, 8,839]

Jawaban

batas bawah = −1,439 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 178

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,96·17/2,5)² = 177,6

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 178

Jawaban

n = 178

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,205

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Statistik uji

t = (98,74 − 100)/0,5714 = −2,205

Jawaban

t = −2,205

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: β = 37,52 %

Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Rata-rata sampel kritis

SE = 7,5/√25 = 1,5

x̄_c = 50 − 1,282·1,5 = 48,08

z menurut rata-rata sebenarnya

z = (48,08 − 47,6)/1,5 = 0,318

Galat tipe II

kuasa = P(Z < 0.318) = 62.48%

β = 100% − 62,48% = 37,52%

Jawaban

β = 37,52%

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,7932

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 359/6 = 59,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 161

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 466,8

Koefisien determinasi

r² = 161²/(70·466,8) = 0,7932

Jawaban

r² = 0,7932

Sekitar 79,32% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 38,5

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 182/6 = 30,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 286

Garis regresi

b = 286/70 = 4,086

a = 30,33 − 4,086·7 = 1,733

ŷ = 1,733 + 4,086·x

Prediksi

ŷ = 1,733 + 4,086·9 = 38,5

Jawaban

ŷ = 38,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1