Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 30, 39, 39, 33, 16, 30.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 40. Tentukan skor z z untuk nilai 468.
μ = 500σ = 40x = 468
z =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,3, 0,35, 0,1
Var(X) =
4.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €2 untuk dimainkan. Anda memenangkan €8 dengan peluang 0,25 dan €40 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €2€8: p = 0,25€40: p = 0,05
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
Massa baut saling bebas dan normal dengan rata-rata 40 g dan simpangan baku 1,2 g. Cari peluang P bahwa massa total 10 di antaranya melebihi 403,8 g. Bulatkan z ke dua desimal.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 403,8 g
P =
6.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 13 unit memiliki rata-rata 111,5 dan simpangan baku s = 2. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
n = 13x̄ = 111,5s = 295%t(12) = 2,179
E =
8.Selang kepercayaanSulit
Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 90% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,02?
p = 0,5E = 0,0290%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 204,2 dan simpangan baku sampel 12. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 204,2s = 12n = 36
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 5 satuan dengan kuasa 95%. Simpangan bakunya 16. Tentukan ukuran sampel minimum n.
α = 0,05kuasa = 95%δ = 5σ = 16zα = 1,645zβ = 1,645
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 8,472
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 187/6 = 31,17
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = (−1,167)² + 7,833² + 7,833² + 1,833² + (−15,17)² + (−1,167)² = 358,8
Simpangan baku
s = √(358,8/5) = 8,472
Jawaban
s = 8,472
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −0,8
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (468 − 500)/40 = −0,8
Jawaban
z = −0,8
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 91
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 10·0,25 + 20·0,3 + 30·0,35 + 40·0,1 = 23
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 100·0,25 + 400·0,3 + 900·0,35 + 1600·0,1 = 620
Variansi
Var(X) = 620 − 23² = 91
Jawaban
Var(X) = 91
4.Peluang
Jawaban: E(G) = 2 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 6 (p = 0,25), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,7)
Nilai harapan
E(G) = 6·0,25 + 38·0,05 − 2·0,7 = 2 €
Jawaban
E(G) = 2 €
Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,1587
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi total
μT = 400 g, σT = 1,2·√10 = 3,795 g
Standarkan
z = (403,8 − 400)/3,795 = 1
Peluang
P = 1 − Φ(1) = 0,1587
Jawaban
P = 0,1587
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7881
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm
Standarkan
z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8
Peluang
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Jawaban
P = 0,7881
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 1,209
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Margin galat
E = 2,179·2/√13 = 1,209
Jawaban
E = 1,209
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 1692
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691
Bulatkan ke atas
n = 1692
Jawaban
n = 1692
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 2,1
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
Statistik uji
t = (204,2 − 200)/2 = 2,1
Jawaban
t = 2,1
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 111
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((1,645 + 1,645)·16/5)² = 110,8
Bulatkan ke atas
n = 111
Jawaban
n = 111
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9769
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 411/6 = 68,5
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 407,5
Koefisien korelasi
r = 82,5/√(17,5·407,5) = 0,9769
Jawaban
r = 0,9769
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 69,87
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 388/6 = 64,67
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 91
Garis regresi
b = 91/17,5 = 5,2
a = 64,67 − 5,2·4,5 = 41,27
ŷ = 41,27 + 5,2·x
Prediksi
ŷ = 41,27 + 5,2·5,5 = 69,87
Jawaban
ŷ = 69,87
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1