Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 38, 48, 49, 18, 22.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 100. Berapa proporsi P nilai di atas 700?
μ = 500σ = 100x = 700
P =
3.PeluangSedang
Sebuah dadu adil dilempar 7 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?
n = 7
P =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X + 4. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,1, 0,25, 0,35Y = 0,5X + 4
σY =
5.Distribusi normalSedang
Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 20,3 dan 44,3 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 32σ = 6x1 = 20,3x2 = 44,3
P =
6.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 40 ponsel, rata-rata 53,5 h, simpangan baku diketahui 7 h. Model 2: 40 ponsel, rata-rata 68,5 h, simpangan baku diketahui 13 h. Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 40x̄₁ = 53,5 hσ₁ = 7 hn₂ = 40x̄₂ = 68,5 hσ₂ = 13 h99%
batas atas = h
8.Selang kepercayaanSulit
Diameter 30 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 6,8 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 29, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 16,047 dan 2,5% berada di atas 45,722.
n = 30s = 6,8 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 6 siswa, rata-rata nilai 101, simpangan baku 8,5. Kelompok 2: 6 siswa, rata-rata nilai 115,1, simpangan baku 5,5. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).
n₁ = 6x̄₁ = 101s₁ = 8,5n₂ = 6x̄₂ = 115,1s₂ = 5,5
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 120 dari 300 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 54 dari 100 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 120n₁ = 300x₂ = 54n₂ = 100
z =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 5Σx = 15Σy = 105Σx² = 55Σy² = 2259Σxy = 293
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 61?
n = 5ŷ = 61
x =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 14,42
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 175/5 = 35
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 3² + 13² + 14² + (−17)² + (−13)² = 832
Simpangan baku
s = √(832/4) = 14,42
Jawaban
s = 14,42
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,02275
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 2
Tabel normal baku
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Jawaban
P = 0,02275
3.Peluang
Jawaban: P = 0,7209
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Jawaban
P = 0,7209
4.Peluang
Jawaban: σY = 6,18
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 26,5, Var(X) = 152,8, σX = 12,36
Perubahan linear
σY = |0,5|·12,36 = 6,18
Jawaban
σY = 6,18
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·26,5 + 4 = 17,25.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,9542
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95
z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05
Luas di antara
P = Φ(2,05) − Φ(−1,95) = 0,9798 − 0,02559 = 0,9542
Jawaban
P = 0,9542
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8849
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Standarkan
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Peluang
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Jawaban
P = 0,8849
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = −8,986 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 53,5 − 68,5 = −15
Galat baku
SE = √(7²/40 + 13²/40) = 2,335
Margin galat
E = 2,576·2,335 = 6,014
Selang
−15 ± 6,014 → [−21,01, −8,986]
Jawaban
batas atas = −8,986 h
Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.
8.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 5,416 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 29·6,8² = 1341
Batas untuk σ²
1341/45,722 = 29,33
1341/16,047 = 83,56
Batas untuk σ
σ = √29,33 = 5,416 µm
Jawaban
σ = 5,416 µm
Selang 95% untuk σ: [5,416, 9,141] µm.
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −3,411
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians gabungan
sp² = (5·8,5² + 5·5,5²)/10 = 51,25
sp = 7,159
Galat baku
SE = 7,159·√(1/6 + 1/6) = 4,133
Statistik uji
t = (101 − 115,1)/4,133 = −3,411
Jawaban
t = −3,411
Dengan df = 10, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,228; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −2,446
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 120/300 = 0,4
p̂₂ = 54/100 = 0,54
p̂ = 174/400 = 0,435
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,435·0,565·(1/300 + 1/100)) = 0,05725
Statistik uji
z = (0,4 − 0,54)/0,05725 = −2,446
Jawaban
z = −2,446
|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = −0,9467
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 293 − 15·105/5 = −22
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2259 − 105²/5 = 54
Koefisien korelasi
r = −22/√(10·54) = −0,9467
Jawaban
r = −0,9467
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 6
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 326/5 = 65,2
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168
Garis regresi
b = 168/40 = 4,2
a = 65,2 − 4,2·7 = 35,8
ŷ = 35,8 + 4,2·x
Selesaikan untuk x
x = (61 − 35,8)/4,2 = 6
Jawaban
x = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1