Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 10, 19, 37, 14, 23, 58, 24.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 5. Tentukan skor z z untuk nilai 55.

μ = 60σ = 5x = 55

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,1, 0,2, 0,35

σ =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 10 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,2, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 4 jawaban benar?

n = 10p = 0,2k = 4

P =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,6211. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,6211

z =

6.Distribusi normalSulit

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 25% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 65,5 dan simpangan baku s = 12,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 21x̄ = 65,5s = 12,595%t(20) = 2,086

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Studi pendahuluan menunjukkan bahwa sekitar 0,1 produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 90% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,01?

p ≈ 0,1E = 0,0190%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 100; simpangan baku populasinya diketahui 24. Sampel acak 36 pengamatan memiliki rata-rata 95,76. Uji H₀: μ = 100 melawan H₁: μ < 100. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 100σ = 24n = 36x̄ = 95,76H₁: μ < μ₀

p =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5? Simpangan bakunya 5. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 5E = 2,595%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3, 10) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(3, 10)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,36

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 185/7 = 26,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−16,43)² + (−7,429)² + 10,57² + (−12,43)² + (−3,429)² + 31,57² + (−2,429)² = 1606

Simpangan baku

s = √(1606/6) = 16,36

Jawaban

s = 16,36

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1

Standarkan

z = (55 − 60)/5 = −1

Jawaban

z = −1

3.Peluang

Jawaban: σ = 1,284

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,35 = 1,55

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,35 = 4,05

Variansi

Var(X) = 4,05 − 1,55² = 1,648

σ = √1,648 = 1,284

Jawaban

σ = 1,284

4.Peluang

Jawaban: P = 0,08808

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 4) = 210·0,2⁴·0,8⁶ = 210·0,0016·0,2621 = 0,08808

Jawaban

P = 0,08808

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,88

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,6211)/2 = 0,8106

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,8106 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,88

Jawaban

z = 0,88

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 246,7 g

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,25

z dari tabel

z ≈ −0,67

Kembali ke satuan semula

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Jawaban

x = 246,7 g

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 71,19

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Margin galat

E = 2,086·12,5/√21 = 5,69

Selang

65,5 ± 5,69 → [59,81, 71,19]

Jawaban

batas atas = 71,19

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 2436

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,645²·0,1·0,9/0,01² = 2435

Bulatkan ke atas

n = 2436

Jawaban

n = 2436

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,1446

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (95,76 − 100)/4 = −1,06

Luas ekor

Φ(1,06) = 0,8554

1 − Φ(1,06) = 0,1446

nilai p

p = 0,1446

Jawaban

p = 0,1446

p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 16

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (1,96·5/2,5)² = 15,37

Bulatkan ke atas

n = 16

Jawaban

n = 16

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9902

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 164/6 = 27,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1067

Koefisien determinasi

r² = 272²/(70·1067) = 0,9902

Jawaban

r² = 0,9902

Sekitar 99,02% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 2,395

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 107/6 = 17,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 179

Garis regresi

b = 179/70 = 2,557

a = 17,83 − 2,557·7 = −0,06667

ŷ = −0,06667 + 2,557·x

Nilai prediksi

ŷ = −0,06667 + 2,557·3 = 7,605

Residu

e = 10 − 7,605 = 2,395

Jawaban

e = 2,395

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1